(10pontos) Encontre a série de Maclaurin para cos(x).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a série de Maclaurin para a função . A série de Maclaurin é uma maneira de escrever funções como uma soma infinita de termos polinomiais. Para resolver isso, vamos precisar conhecer como derivar funções e entender como construir essa série passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a série de Maclaurin é um tipo especial de série de Taylor centrada em . A fórmula geral da série de Maclaurin para uma função é:
Isso significa que precisamos calcular as derivadas de avaliadas em .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de :





E assim por diante. Você percebeu o padrão? As derivadas de se repetem a cada quatro ordens.

Passo 4

Agora, vamos substituir esses valores na fórmula da série de Maclaurin:
Substituindo os valores que calculamos:

Passo 5

Simplificando os termos, já que alguns são multiplicados por zero:
Perceba que os sinais alternam e os expoentes de são pares, seguindo a sequência .

Passo 6

Podemos expressar isso de forma geral usando somas:
Aqui, começa em 0 e vai até o infinito, capturando todos os termos da série.

Resposta

A série de Maclaurin para é:

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