(10pontos) Encontre a série de Maclaurin para
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a série de Maclaurin para a função
. A série de Maclaurin é uma maneira de escrever funções como uma soma infinita de termos polinomiais. Para resolver isso, vamos precisar conhecer como derivar funções e entender como construir essa série passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a série de Maclaurin é um tipo especial de série de Taylor centrada em
. A fórmula geral da série de Maclaurin para uma função
é:
Isso significa que precisamos calcular as derivadas de
avaliadas em
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de
:
E assim por diante. Você percebeu o padrão? As derivadas de
se repetem a cada quatro ordens.
Passo 4
Agora, vamos substituir esses valores na fórmula da série de Maclaurin:
Substituindo os valores que calculamos:
Passo 5
Simplificando os termos, já que alguns são multiplicados por zero:
Perceba que os sinais alternam e os expoentes de
são pares, seguindo a sequência
.
Passo 6
Podemos expressar isso de forma geral usando somas:
Aqui,
começa em 0 e vai até o infinito, capturando todos os termos da série.
Resposta
A série de Maclaurin para
é:
Exercícios relacionados
Calcule
, onde:
, onde
.
(10 pontos) Use derivação termo a termo na parte (a) para encontrar uma série de potências para
Mostre que
, seja qual for o
.
(10 pontos) Considere a função
periódica de período
. Tal que
Encontre a série de Fourier de
.