(10 pontos) Consideremos a região R compreendida entre os gráficos das funções f(x) = x^2 + x e g(x) = -x. Encontre a área da região R.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos duas funções, e , e queremos descobrir a área da região que fica entre os gráficos dessas duas funções. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de área entre curvas na matemática, que envolve calcular integrais.

Passo 2

O primeiro passo é encontrar os pontos de interseção das duas funções. Isso significa resolver a equação :

Passo 3

Vamos resolver a equação:
Agora, fatoramos:
Então, os pontos de interseção são:

Passo 4

Agora que temos os pontos de interseção ( e ), vamos determinar qual função está acima da outra nesse intervalo, porque a área entre curvas é calculada pela diferença entre a função de cima e a de baixo.
Vamos testar um valor entre -2 e 0, por exemplo, :
Como é maior que , concluímos que está acima de nesse intervalo.

Passo 5

Agora, vamos usar a fórmula para calcular a área entre duas curvas:
Á
Onde:

Passo 6

Vamos substituir na fórmula:
Á

Passo 7

Agora, vamos integrar termo a termo:
Então, a integral fica:
Á

Passo 8

Vamos calcular avaliando nos limites de integração:
Para :
Para :

Passo 9

Subtraindo os valores:
Á

Resposta

A área da região é unidades quadradas.

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