(10 pontos) Consideremos a região
compreendida entre os gráficos das funções
e
. Encontre a área da região R.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos duas funções,
e
, e queremos descobrir a área da região
que fica entre os gráficos dessas duas funções. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de área entre curvas na matemática, que envolve calcular integrais.
Passo 2
O primeiro passo é encontrar os pontos de interseção das duas funções. Isso significa resolver a equação
:
Passo 3
Vamos resolver a equação:
Agora, fatoramos:
Então, os pontos de interseção são:
Passo 4
Agora que temos os pontos de interseção (
e
), vamos determinar qual função está acima da outra nesse intervalo, porque a área entre curvas é calculada pela diferença entre a função de cima e a de baixo.
Vamos testar um valor entre -2 e 0, por exemplo,
:
Como
é maior que
, concluímos que
está acima de
nesse intervalo.
Passo 5
Agora, vamos usar a fórmula para calcular a área entre duas curvas:
Onde:
Passo 6
Vamos substituir na fórmula:
Passo 7
Agora, vamos integrar termo a termo:
Então, a integral fica:
Passo 8
Vamos calcular avaliando nos limites de integração:
Para
:
Para
:
Passo 9
Subtraindo os valores:
Resposta
A área da região
é
unidades quadradas.
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.
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