Sejam e . O limite de quando tende a 2 existe e vale . Calcule os valores de e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função racional, que é aquela que tem um polinômio no numerador e outro no denominador. A função dada é . O desafio é encontrar os valores de e do limite quando se aproxima de 2, de forma que esse limite exista e seja um número real.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa calcular o limite de quando tende a 2. Basicamente, queremos saber para qual valor se aproxima à medida que fica bem perto de 2.

Passo 3

Vamos tentar substituir na função para ver o que acontece:
Aí percebemos que o denominador dá zero, o que nos deixa com uma expressão indefinida. Para que o limite exista, precisamos que o numerador também seja zero quando , cancelando assim o zero do denominador.

Passo 4

Então, vamos igualar o numerador a zero e resolver para :

Passo 5

Agora que sabemos que , vamos substituir esse valor na função original:

Passo 6

Vamos fatorar o numerador e o denominador:
Numerador:
Denominador:
Então, a função fica:

Passo 7

Agora, podemos cancelar o fator que está tanto no numerador quanto no denominador:

Passo 8

Com a função simplificada, podemos calcular o limite quando tende a 2 substituindo diretamente:

Resposta

Os valores são e .

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Compute a derivada da função
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