Sejam a in R e f(x)=(x^2+a*x+a-1)/(x^2-3*x+2). O limite de f(x) quando x tende a 2 existe e vale L pertence a R. Calcule os valores de a e L.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função racional, que é aquela que tem um polinômio no numerador e outro no denominador. A função dada é f(x)=(x^2+a*x+a-1)/(x^2-3*x+2). O desafio é encontrar os valores de a e do limite L quando x se aproxima de 2, de forma que esse limite exista e seja um número real.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa calcular o limite de f(x) quando x tende a 2. Basicamente, queremos saber para qual valor f(x) se aproxima à medida que x fica bem perto de 2.

Passo 3

Vamos tentar substituir x = 2 na função para ver o que acontece:
Aí percebemos que o denominador dá zero, o que nos deixa com uma expressão indefinida. Para que o limite exista, precisamos que o numerador também seja zero quando x = 2, cancelando assim o zero do denominador.

Passo 4

Então, vamos igualar o numerador a zero e resolver para a:

Passo 5

Agora que sabemos que , vamos substituir esse valor na função original:

Passo 6

Vamos fatorar o numerador e o denominador:
Numerador:
Denominador:
Então, a função fica:

Passo 7

Agora, podemos cancelar o fator que está tanto no numerador quanto no denominador:

Passo 8

Com a função simplificada, podemos calcular o limite quando x tende a 2 substituindo diretamente:

Resposta

Os valores são e .

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