(5 pontos) Consideremos a função . Encontre o valor da Derivada direcional de , na direção do vetor , no ponto . Com base apenas nesse valor, é possível afirmar se P é um ponto crítico? Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a derivada direcional da função na direção do vetor no ponto . Além disso, queremos saber se, com base nesse valor, podemos afirmar que é um ponto crítico. Para resolver isso, vamos precisar conhecer o conceito de derivada direcional e vetores unitários.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de uma função em uma direção específica nos dá a taxa de variação da função naquela direção. Para calcular isso, usamos o gradiente da função e o vetor direção.
Passo 3
O gradiente da função , denotado por , é um vetor que contém todas as derivadas parciais de . Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a , e :
Passo 4
Agora, avaliamos o gradiente no ponto :
Então, o gradiente no ponto é:
Passo 5
Agora, precisamos garantir que o vetor direção seja um vetor unitário, ou seja, tenha comprimento 1. Primeiro, calculamos o comprimento de :
Então, o vetor unitário na direção de é:
á
Passo 6
A derivada direcional é calculada pelo produto escalar do gradiente com o vetor unitário direção:
á
Calculando o produto escalar:
Resposta
A derivada direcional de na direção de no ponto é . Como a derivada direcional não é zero, podemos concluir que não é um ponto crítico da função.