(5 pontos) Consideremos a função . Encontre o valor da Derivada direcional de , na direção do vetor , no ponto . Com base apenas nesse valor, é possível afirmar se P é um ponto crítico? Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a derivada direcional da função na direção do vetor no ponto . Além disso, queremos saber se, com base nesse valor, podemos afirmar que é um ponto crítico. Para resolver isso, vamos precisar conhecer o conceito de derivada direcional e vetores unitários.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de uma função em uma direção específica nos dá a taxa de variação da função naquela direção. Para calcular isso, usamos o gradiente da função e o vetor direção.

Passo 3

O gradiente da função , denotado por , é um vetor que contém todas as derivadas parciais de . Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a , e :

Passo 4

Agora, avaliamos o gradiente no ponto :
Então, o gradiente no ponto é:

Passo 5

Agora, precisamos garantir que o vetor direção seja um vetor unitário, ou seja, tenha comprimento 1. Primeiro, calculamos o comprimento de :
Então, o vetor unitário na direção de é:
á

Passo 6

A derivada direcional é calculada pelo produto escalar do gradiente com o vetor unitário direção:
á
Calculando o produto escalar:

Resposta

A derivada direcional de na direção de no ponto é . Como a derivada direcional não é zero, podemos concluir que não é um ponto crítico da função.

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(10 pontos) Consideremos a região compreendida entre os gráficos das funções e . Encontre a área da região R.
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encontrar as assíntotas horizontais e verticais, se existirem.
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