Encontre os valores máximos e mínimos da função
.
Notação:
significa
.
Notação:
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo e quais conceitos precisamos aplicar. Queremos encontrar os valores máximos e mínimos da função
. Para isso, vamos utilizar derivadas para identificar os pontos onde a função pode atingir esses valores extremos.
Passo 2
Primeiro, precisamos calcular a derivada da função
em relação a
. A derivada nos ajuda a determinar onde a função está crescendo ou diminuindo, indicando possíveis pontos de máximo ou mínimo.
A função é:
Vamos calcular a derivada
.
Passo 3
Aplicamos a regra da cadeia para derivar
:
Passo 4
Para encontrar os pontos críticos, igualamos a derivada a zero:
Sabemos que
nunca é zero, então a única solução vem de:
Passo 5
Agora, precisamos determinar se
é um ponto de máximo ou mínimo. Para isso, podemos usar a segunda derivada.
Calculamos a segunda derivada
:
Usando a regra do produto:
Substituindo
:
Como a segunda derivada é positiva,
é um ponto de mínimo.
Resposta
A função
possui um mínimo local no ponto
, com valor
. Não há valores máximos globais.
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(10 pontos) Consideremos a região
compreendida entre os gráficos das funções
e
. Encontre a área da região R.
Compute a derivada da função
(5 pontos) Consideremos a função
. Encontre o valor da Derivada direcional de
, na direção do vetor
, no ponto
. Com base apenas nesse valor, é possível afirmar se P é um ponto crítico? Justifique sua resposta.
Seja
. Esboce o gráfico de
depois de
encontrar as assíntotas horizontais e verticais, se existirem.
encontrar as assíntotas horizontais e verticais, se existirem.