Encontre os valores máximos e mínimos da função .
Notação: significa .

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo e quais conceitos precisamos aplicar. Queremos encontrar os valores máximos e mínimos da função . Para isso, vamos utilizar derivadas para identificar os pontos onde a função pode atingir esses valores extremos.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular a derivada da função em relação a . A derivada nos ajuda a determinar onde a função está crescendo ou diminuindo, indicando possíveis pontos de máximo ou mínimo.
A função é:
Vamos calcular a derivada .

Passo 3

Aplicamos a regra da cadeia para derivar :

Passo 4

Para encontrar os pontos críticos, igualamos a derivada a zero:
Sabemos que nunca é zero, então a única solução vem de:

Passo 5

Agora, precisamos determinar se é um ponto de máximo ou mínimo. Para isso, podemos usar a segunda derivada.
Calculamos a segunda derivada :
Usando a regra do produto:
Substituindo :
Como a segunda derivada é positiva, é um ponto de mínimo.

Resposta

A função possui um mínimo local no ponto , com valor . Não há valores máximos globais.

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Compute a derivada da função
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Seja . Esboce o gráfico de depois de
encontrar as assíntotas horizontais e verticais, se existirem.