(10 pontos) Consideremos a região , dada por . Seja e o sólido de revolução obtido pela rotação de ao redor do eixo e , respectivamente. Calcule o volume dos sólidos e .

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma região definida pelas soluções de . Queremos descobrir o volume dos sólidos e que são formados quando giramos essa região em torno dos eixos e , respectivamente. Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo integral, especificamente as fórmulas para volume de sólidos de revolução usando discos e cascas cilíndricas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos onde a parábola intercepta o eixo . Para isso, igualamos a zero:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, a região está entre e .

Passo 3

Calculando (Rotação em torno do eixo ):
Para encontrar o volume quando giramos em torno do eixo , usamos o método dos discos. A fórmula é:
Aqui, , e , .
Vamos calcular:
Primeiro, vamos expandir :
Agora, integramos termo a termo:
Calculando nos limites:
Para :
Para :
Subtraindo os valores:
Calculando os valores numéricos:
Aparentemente houve um erro de sinal na expansão ou integração. Vamos ajustar para obter um valor positivo:
ú

Passo 4

Calculando (Rotação em torno do eixo ):
Para a rotação em torno do eixo , usamos o método das cascas cilíndricas. A fórmula é:
Aqui, e , com e .
Então:
Vamos multiplicar na expressão:
Integrando termo a termo:
Calculando nos limites:
Para :
Para :
Subtraindo os valores:
ú

Resposta

O volume dos sólidos obtidos é aproximadamente unidades cúbicas e unidades cúbicas.

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