Encontre o comprimento do caminho percorrido por uma partícula que se move ao longo das curvas de equações dadas duranto o intervalo de tempo especificado em cada um dos itens a seguir:
cost +2 sent, 2 sent -2 tcost .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos o comprimento do caminho que uma partícula percorre ao se mover de acordo com as equações dadas, no intervalo de tempo de a . Aqui, estamos lidando com cálculo de comprimento de arco em cálculo diferencial. Para resolver isso, vamos precisar das derivadas das funções que descrevem o movimento da partícula e então integrar a magnitude dessa derivada no intervalo especificado.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções que descrevem o movimento da partícula. Temos a posição definida por:
Aqui, a primeira componente e a segunda componente .

Passo 3

Para encontrar o comprimento do caminho, precisamos calcular a derivada de em relação ao tempo , ou seja, .
Vamos derivar cada componente:

Passo 4

Agora que temos as derivadas, podemos encontrar a magnitude da derivada , que é dada por:
Substituindo os valores de e :

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Somando as duas partes:
Podemos fatorar 4:
Reconhecendo que :

Passo 6

Portanto, a magnitude fica:

Passo 7

Para encontrar o comprimento do caminho, integramos de a :
Essa integral pode ser complexa para resolver analiticamente, então geralmente usamos métodos numéricos para calculá-la.

Resposta

O comprimento do caminho percorrido pela partícula é dado pela integral

Exercícios relacionados

Suponha que a derivada da função seja . Em quais intervalos é crescente ou decrescente? Em quais pontos (se houver) o gráfico de assume valores máximos ou mínimos locais? Considerando , há máximos ou mínimos absolutos?
Represente a função como uma série de potências e determine o seu raio e intervalo de convergência (se for o caso)
d)
Seja . Esboce o gráfico de depois de
encontrar os máximos ou mínimos locais, se existirem
(10 pontos) Consideremos a região , dada por . Seja e o sólido de revolução obtido pela rotação de ao redor do eixo e , respectivamente. Calcule o volume dos sólidos e .