Encontre o comprimento do caminho percorrido por uma partícula que se move ao longo das curvas de equações dadas duranto o intervalo de tempo especificado em cada um dos itens a seguir:
σ(t) = 2 cost +2 sent, 2 sent -2 tcost 0 <= t <= 2 pi.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos o comprimento do caminho que uma partícula percorre ao se mover de acordo com as equações dadas, no intervalo de tempo de a . Aqui, estamos lidando com cálculo de comprimento de arco em cálculo diferencial. Para resolver isso, vamos precisar das derivadas das funções que descrevem o movimento da partícula e então integrar a magnitude dessa derivada no intervalo especificado.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções que descrevem o movimento da partícula. Temos a posição definida por:
Aqui, a primeira componente e a segunda componente .

Passo 3

Para encontrar o comprimento do caminho, precisamos calcular a derivada de em relação ao tempo , ou seja, .
Vamos derivar cada componente:

Passo 4

Agora que temos as derivadas, podemos encontrar a magnitude da derivada , que é dada por:
Substituindo os valores de e :

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Somando as duas partes:
Podemos fatorar 4:
Reconhecendo que :

Passo 6

Portanto, a magnitude fica:

Passo 7

Para encontrar o comprimento do caminho, integramos de a :
Essa integral pode ser complexa para resolver analiticamente, então geralmente usamos métodos numéricos para calculá-la.

Resposta

O comprimento do caminho percorrido pela partícula é dado pela integral

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