Encontre o comprimento do caminho percorrido por uma partícula que se move ao longo das curvas de equações dadas duranto o intervalo de tempo especificado em cada um dos itens a seguir:
cost +2 sent, 2 sent -2 tcost
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos o comprimento do caminho que uma partícula percorre ao se mover de acordo com as equações dadas, no intervalo de tempo de
a
. Aqui, estamos lidando com cálculo de comprimento de arco em cálculo diferencial. Para resolver isso, vamos precisar das derivadas das funções que descrevem o movimento da partícula e então integrar a magnitude dessa derivada no intervalo especificado.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções que descrevem o movimento da partícula. Temos a posição
definida por:
Aqui, a primeira componente
e a segunda componente
.
Passo 3
Para encontrar o comprimento do caminho, precisamos calcular a derivada de
em relação ao tempo
, ou seja,
.
Vamos derivar cada componente:
Passo 4
Agora que temos as derivadas, podemos encontrar a magnitude da derivada
, que é dada por:
Substituindo os valores de
e
:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Somando as duas partes:
Podemos fatorar 4:
Reconhecendo que
:
Passo 6
Portanto, a magnitude fica:
Passo 7
Para encontrar o comprimento do caminho, integramos
de
a
:
Essa integral pode ser complexa para resolver analiticamente, então geralmente usamos métodos numéricos para calculá-la.
Resposta
O comprimento do caminho percorrido pela partícula é dado pela integral
Exercícios relacionados
Suponha que a derivada da função
seja
. Em quais intervalos
é crescente ou decrescente? Em quais pontos (se houver) o gráfico de
assume valores máximos ou mínimos locais? Considerando
, há máximos ou mínimos absolutos?
Represente a função como uma série de potências e determine o seu raio e intervalo de convergência (se for o caso)
d)
d)
Seja
. Esboce o gráfico de
depois de
encontrar os máximos ou mínimos locais, se existirem
encontrar os máximos ou mínimos locais, se existirem
(10 pontos) Consideremos a região
, dada por
. Seja
e
o sólido de revolução obtido pela rotação de
ao redor do eixo
e
, respectivamente. Calcule o volume dos sólidos
e
.