(10 pontos) Seja
. Encontre os pontos de máximo local, mínimo local, ou sela, da função.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que pede para encontrar os pontos de máximo local, mínimo local ou pontos de sela da função
. Aqui, vamos usar derivadas parciais e o teste da segunda derivada para identificar esses pontos.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a
e
. As derivadas parciais nos ajudam a encontrar onde a inclinação da função é zero, ou seja, os pontos críticos.
A derivada parcial em relação a
é:
A derivada parcial em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero.
Resolvendo
:
Resolvendo
:
Então, o único ponto crítico é
.
Passo 4
Para determinar se esse ponto é um máximo local, mínimo local ou ponto de sela, vamos usar o teste da segunda derivada. Primeiro, calculamos as segundas derivadas:
Passo 5
Calculamos o discriminante
que é dado por:
Como
e
, isso indica que o ponto crítico
é um mínimo local.
Resposta
O ponto
é um mínimo local da função
.
Exercícios relacionados
(10 pontos) Consideremos a região
, dada por
. Seja
e
o sólido de revolução obtido pela rotação de
ao redor do eixo
e
, respectivamente. Calcule o volume dos sólidos
e
.
Seja
. Esboce o gráfico de
depois de
encontrar os máximos ou mínimos locais, se existirem
encontrar os máximos ou mínimos locais, se existirem
Sejam
e
. O limite de
quando
tende a 2 existe e vale
. Calcule os valores de
e
.
Compute a derivada da função