(10 pontos) Seja . Encontre os pontos de máximo local, mínimo local, ou sela, da função.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que pede para encontrar os pontos de máximo local, mínimo local ou pontos de sela da função . Aqui, vamos usar derivadas parciais e o teste da segunda derivada para identificar esses pontos.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a e . As derivadas parciais nos ajudam a encontrar onde a inclinação da função é zero, ou seja, os pontos críticos.
A derivada parcial em relação a é:
A derivada parcial em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero.
Resolvendo :
Resolvendo :
Então, o único ponto crítico é .

Passo 4

Para determinar se esse ponto é um máximo local, mínimo local ou ponto de sela, vamos usar o teste da segunda derivada. Primeiro, calculamos as segundas derivadas:

Passo 5

Calculamos o discriminante que é dado por:
Como e , isso indica que o ponto crítico é um mínimo local.

Resposta

O ponto é um mínimo local da função .

Exercícios relacionados

(10 pontos) Consideremos a região , dada por . Seja e o sólido de revolução obtido pela rotação de ao redor do eixo e , respectivamente. Calcule o volume dos sólidos e .
Seja . Esboce o gráfico de depois de
encontrar os máximos ou mínimos locais, se existirem
Sejam e . O limite de quando tende a 2 existe e vale . Calcule os valores de e .
Compute a derivada da função