Seja
. Esboce o gráfico de
depois de
encontrar os máximos ou mínimos locais, se existirem
encontrar os máximos ou mínimos locais, se existirem
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente esboçar o gráfico da função
e, antes disso, identificar se ela tem máximos ou mínimos locais. Vamos trabalhar com cálculo diferencial para encontrar essas informações.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar os cálculos:
Passo 3
Agora, para encontrar os pontos onde a função pode ter máximos ou mínimos locais, precisamos calcular a derivada de
em relação a
. A derivada nos mostra a taxa de variação da função.
Calculando a derivada:
Passo 4
Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os valores de
onde a derivada é zero ou indefinida.
Igualando a derivada a zero:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Portanto,
é um ponto crítico.
Passo 5
Para determinar se esse ponto crítico é um máximo ou mínimo, vamos analisar a segunda derivada ou usar o teste da primeira derivada. Vamos usar o teste da primeira derivada.
Escolhendo valores ao redor de
:
-
Para
, por exemplo, : -
Para
, por exemplo, :
Como a derivada muda de negativa para positiva passando por
, isso indica que a função tem um mínimo local em
.
Passo 6
Agora, vamos encontrar o valor de
para saber as coordenadas desse ponto mínimo:
Portanto, o ponto mínimo é
.
Passo 7
Vamos também identificar as assíntotas da função para esboçar o gráfico corretamente.
-
Assíntota vertical: Quando
, o denominador se anula, então temos uma assíntota vertical em . -
Assíntota horizontal: Analisando o comportamento de
quando tende ao infinito:
Portanto, há uma assíntota horizontal em
.
Passo 8
Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
- Assíntotas: Linha vertical em
e linha horizontal em . - Ponto mínimo:
. - Comportamento: A função se aproxima das assíntotas nas extremidades e passa pelo ponto mínimo.
Resposta
A função
possui um mínimo local em
, uma assíntota vertical em
e uma assíntota horizontal em
. Com base nisso, o gráfico de
tem essas características principais, com a curva passando pelo ponto mínimo e aproximando-se das assíntotas conforme
se afasta de 2.