Seja . Esboce o gráfico de depois de
encontrar os máximos ou mínimos locais, se existirem

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente esboçar o gráfico da função e, antes disso, identificar se ela tem máximos ou mínimos locais. Vamos trabalhar com cálculo diferencial para encontrar essas informações.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar os cálculos:

Passo 3

Agora, para encontrar os pontos onde a função pode ter máximos ou mínimos locais, precisamos calcular a derivada de em relação a . A derivada nos mostra a taxa de variação da função.
Calculando a derivada:

Passo 4

Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os valores de onde a derivada é zero ou indefinida.
Igualando a derivada a zero:
Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores:
Portanto, é um ponto crítico.

Passo 5

Para determinar se esse ponto crítico é um máximo ou mínimo, vamos analisar a segunda derivada ou usar o teste da primeira derivada. Vamos usar o teste da primeira derivada.
Escolhendo valores ao redor de :
  • Para , por exemplo, :
  • Para , por exemplo, :
Como a derivada muda de negativa para positiva passando por , isso indica que a função tem um mínimo local em .

Passo 6

Agora, vamos encontrar o valor de para saber as coordenadas desse ponto mínimo:
Portanto, o ponto mínimo é .

Passo 7

Vamos também identificar as assíntotas da função para esboçar o gráfico corretamente.
  • Assíntota vertical: Quando , o denominador se anula, então temos uma assíntota vertical em .
  • Assíntota horizontal: Analisando o comportamento de quando tende ao infinito:
Portanto, há uma assíntota horizontal em .

Passo 8

Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
  1. Assíntotas: Linha vertical em e linha horizontal em .
  2. Ponto mínimo: .
  3. Comportamento: A função se aproxima das assíntotas nas extremidades e passa pelo ponto mínimo.

Resposta

A função possui um mínimo local em , uma assíntota vertical em e uma assíntota horizontal em . Com base nisso, o gráfico de tem essas características principais, com a curva passando pelo ponto mínimo e aproximando-se das assíntotas conforme se afasta de 2.

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