(10 pontos) Dada a matriz
A=(cc 1 & -1 1 & 2 )
Verifique se ela satisfaz a equação
X^2-3 X+I2=02 times 2

Passo 1

Então, temos uma matriz quadrada e queremos verificar se ela satisfaz a equação matricial . Aqui, estamos trabalhando com álgebra linear, especificamente com operações de matrizes como a multiplicação e a soma. Para resolver isso, vamos precisar calcular , multiplicar a matriz por 3, somar com a matriz identidade e, por fim, verificar se o resultado é a matriz zero .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular A = 1 & -1 1 & 2 , que é a multiplicação da matriz A^2 = A times A = 1 & -1 1 & 2 1 & -1 1 & 2 por ela mesma. Lembrando que para multiplicar duas matrizes, multiplicamos as linhas da primeira matriz pelas colunas da segunda e somamos os produtos.
= (1 times 1) + (-1 times 1) & (1 times -1) + (-1 times 2) (1 times 1) + (2 times 1) & (1 times -1) + (2 times 2)
Calculando = 1 - 1 & -1 - 2 1 + 2 & -1 + 4 = 0 & -3 3 & 3 :

Passo 3

Agora, vamos calcular 3A = 3 times 1 & -1 1 & 2 = 3 times 1 & 3 times (-1) 3 times 1 & 3 times 2 = 3 & -3 3 & 6 , ou seja, multiplicar cada elemento da matriz por 3.

Passo 4

Também precisamos considerar a matriz identidade I2 = 1 & 0 0 & 1 , que é:

Passo 5

Agora, vamos montar a equação A^2 - 3A + I2 = 0 & -3 3 & 3 - 3 & -3 3 & 6 + 1 & 0 0 & 1 :

[
A^{2} - 3A + I_{2} =
= 0 - 3 + 1 & -3 - (-3) + 0 3 - 3 + 0 & 3 - 6 + 1 = -2 & 0 0 & -2


+

]
Realizando as subtrações e adições elemento a elemento:

Resposta

Como -2 & 0 0 & -2 , a matriz 0 & 0 0 & 0 não satisfaz a equação .

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