São listados nos itens abaixo conjuntos munidos de operações de soma vetorial e multiplicação escalar. Determine quais deles tem essas operações bem definidas para todos os seus elementos (no sentido de definirem elementos de ), e quais destes satisfazem os axiomas de um espaço vetorial (real). Justifique por que os restantes não são espaços vetoriais mostrando que pelo menos um dos axiomas de espaço vetorial falha, ou que uma das duas operações não é sempre bem definida em : Os axiomas (a) (b) falham.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para analisar alguns conjuntos com operações de soma vetorial e multiplicação escalar. Precisamos verificar três coisas:
  1. Operações bem definidas: Isso significa que, ao somar dois vetores de ou multiplicar um vetor por um escalar, o resultado ainda está dentro de .
  2. Axiomas de espaço vetorial: São as regras que definem um espaço vetorial, como a comutatividade da soma ( ) e a associatividade ( ).
  3. Justificativa para não ser espaço vetorial: Se alguma operação não estiver bem definida ou algum axioma não for satisfeito, precisamos explicar qual é o problema.
Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, precisamos entender quais são os conjuntos que estamos analisando. Como o enunciado não especifica quais são esses conjuntos, vamos supor que eles sejam apresentados em itens abaixo do enunciado original. Cada conjunto terá suas próprias operações de soma e multiplicação escalar.

Passo 3

Para cada conjunto , vamos verificar:
  1. Se a soma de quaisquer dois vetores em está dentro de .
  2. Se a multiplicação de um vetor de por um número real está dentro de .
  3. Se as operações de soma e multiplicação escalar satisfazem os axiomas de um espaço vetorial.

Passo 4

Vamos falar um pouco sobre os axiomas de espaço vetorial, especificamente sobre os que o enunciado menciona:
  • Comutatividade da soma: Para todo , . Isso significa que a ordem em que somamos dois vetores não altera o resultado.
  • Associatividade da soma: Para todo , . Isso quer dizer que, ao somar três vetores, não importa como agrupamos eles, o resultado será o mesmo.
Se algum desses axiomas não for satisfeito em um conjunto , então não é um espaço vetorial.

Passo 5

Vamos supor que um dos conjuntos apresentados seja, por exemplo, o conjunto dos números naturais com as operações usuais de soma e multiplicação por escalar.
  1. Operações bem definidas:
    • Soma de dois naturais é um natural.
    • Multiplicação de um natural por um real nem sempre resulta em um natural.
    Conclusão: A multiplicação escalar não está bem definida, pois o resultado pode não ser um número natural.
  2. Axiomas:
    • Mesmo que tentássemos verificar os axiomas, como a comutatividade e associatividade da soma são satisfeitas nos naturais, a falta de bem-definição da multiplicação escalar já impede que seja um espaço vetorial.

Passo 6

Outro exemplo pode ser o conjunto das matrizes quadradas de ordem com entradas reais, onde a soma é a soma usual de matrizes e a multiplicação escalar é a multiplicação de cada entrada por um número real.
  1. Operações bem definidas:
    • Soma de duas matrizes quadradas de ordem resulta em outra matriz quadrada de ordem .
    • Multiplicação de uma matriz quadrada por um real resulta em outra matriz quadrada de ordem .
    Conclusão: As operações estão bem definidas.
  2. Axiomas:
    • Comutatividade da soma: é verdadeira.
    • Associatividade da soma: também é verdadeira.
    Além disso, os outros axiomas de espaços vetoriais também são satisfeitos para matrizes quadradas.

Resposta

Portanto, entre os conjuntos analisados, as matrizes quadradas de ordem com operações de soma e multiplicação escalar bem definidas formam um espaço vetorial, pois satisfazem todos os axiomas necessários. Já os números naturais não formam um espaço vetorial porque a multiplicação escalar não está sempre bem definida dentro de . Além disso, se algum conjunto falhar nos axiomas de comutatividade ou associatividade da soma, como exemplificado, ele também não será um espaço vetorial.

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São listados nos itens abaixo conjuntos munidos de operações de soma vetorial e multiplicação escalar. Determine quais deles tem essas operações bem definidas para todos os seus elementos (no sentido de definirem elementos de ), e quais destes satisfazem os axiomas de um espaço vetorial (real). Justifique por que os restantes não são espaços vetoriais mostrando que pelo menos um dos axiomas de espaço vetorial falha, ou que uma das duas operações não é sempre bem definida em : O axioma (h) falha.
Dados dois espaços vetoriais , considere o produto Cartesiano de e . Mostre que as operações de soma vetorial e multiplicação escalar são operações vetoriais em : A prova é igual à do caso em que .
São listados nos itens abaixo conjuntos munidos de operações de soma vetorial e multiplicação escalar. Determine quais deles tem essas operações bem definidas para todos os seus elementos (no sentido de definirem elementos de ), e quais destes satisfazem os axiomas de um espaço vetorial (real). Justifique por que os restantes não são espaços vetoriais mostrando que pelo menos um dos axiomas de espaço vetorial falha, ou que uma das duas operações não é sempre bem definida em : O axioma (f) falha.
(10 pontos) Dada a matriz
Verifique se ela satisfaz a equação