São listados nos itens abaixo conjuntos munidos de operações de soma vetorial e multiplicação escalar. Determine quais deles tem essas operações bem definidas para todos os seus elementos (no sentido de definirem elementos de ), e quais destes satisfazem os axiomas de um espaço vetorial (real). Justifique por que os restantes não são espaços vetoriais mostrando que pelo menos um dos axiomas de espaço vetorial falha, ou que uma das duas operações não é sempre bem definida em : O axioma (f) falha.

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que pede para verificar se certos conjuntos , com operações de soma vetorial e multiplicação por escalar, são espaços vetoriais. Para isso, precisamos ver se essas operações estão bem definidas em todos os elementos de e se todas as regras (axiomas) de um espaço vetorial são satisfeitas. Vamos focar no axioma (f) que diz: . Para resolver, vamos analisar cada conjunto e verificar esses pontos.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa uma operação estar bem definida. Isso quer dizer que, ao somar ou multiplicar vetores (ou escalar e vetor), o resultado também deve pertencer ao conjunto . Se não for assim, a operação não está bem definida.

Passo 3

Depois, vamos verificar os axiomas de um espaço vetorial. São várias regras que devem ser satisfeitas, como a comutatividade da soma, a existência de um elemento neutro, a distributividade da soma e da multiplicação por escalar, entre outras. No nosso caso, o foco é no axioma (f).

Passo 4

Vamos aplicar esses conceitos nos conjuntos listados:
  1. Conjunto A: Verificamos se a soma de dois elementos em resulta em outro elemento de e se a multiplicação por um escalar também mantém o resultado em . Depois, checamos se o axioma (f) é válido.
  2. Conjunto B: Repetimos o mesmo processo para o conjunto .
  3. Conjunto C: Fazemos o mesmo para .
(Como os conjuntos específicos não foram listados, estamos generalizando o processo.)

Passo 5

Se, ao verificar um conjunto, percebemos que a soma ou a multiplicação por escalar não mantém os elementos dentro de , ou se algum dos axiomas não é satisfeito (como o axioma (f)), então esse conjunto não é um espaço vetorial.

Passo 6

Por exemplo, suponha que no Conjunto D, ao somar dois vetores, o resultado sai fora de . Isso já indica que a operação de soma não está bem definida, então não pode ser um espaço vetorial.

Resposta

Após analisar cada conjunto com suas operações de soma vetorial e multiplicação escalar, concluímos quais são espaços vetoriais verificando a definição das operações e o cumprimento dos axiomas, especialmente o axioma (f). Os conjuntos que mantêm as operações bem definidas e satisfazem todos os axiomas são espaços vetoriais, enquanto os demais não são por falharem nas definições ou nos axiomas estabelecidos.

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São listados nos itens abaixo conjuntos munidos de operações de soma vetorial e multiplicação escalar. Determine quais deles tem essas operações bem definidas para todos os seus elementos (no sentido de definirem elementos de ), e quais destes satisfazem os axiomas de um espaço vetorial (real). Justifique por que os restantes não são espaços vetoriais mostrando que pelo menos um dos axiomas de espaço vetorial falha, ou que uma das duas operações não é sempre bem definida em : Os axiomas (a) (b) falham.
São listados nos itens abaixo conjuntos munidos de operações de soma vetorial e multiplicação escalar. Determine quais deles tem essas operações bem definidas para todos os seus elementos (no sentido de definirem elementos de ), e quais destes satisfazem os axiomas de um espaço vetorial (real). Justifique por que os restantes não são espaços vetoriais mostrando que pelo menos um dos axiomas de espaço vetorial falha, ou que uma das duas operações não é sempre bem definida em : O axioma (h) falha.
(10 pontos) Dada a matriz
Verifique se ela satisfaz a equação
Calcule e .