Calcule (u times v) cdot w e v cdot(v times w).

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular (u times v) cdot w e v cdot(v times w). O conteúdo que vamos usar aqui envolve produtos vetoriais e produtos escalares, que são partes da álgebra vetorial. Para isso, vamos precisar entender como funcionam o produto vetorial, o produto escalar e algumas propriedades importantes desses produtos.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular (u times v) cdot w. Aqui, u times v representa o produto vetorial entre os vetores u e v, que resulta em um vetor perpendicular aos dois. Depois, fazemos o produto escalar desse resultado com o vetor w.
Uma propriedade importante é que (u times v) cdot w é igual ao determinante da matriz formada pelos vetores u, v e w. Isso é conhecido como produto misto ou produto escalar triplo. Matematicamente, temos:
(u times v) cdot w = det(u, v, w)

Passo 3

Agora, vamos calcular v cdot(v times w). Aqui, v times w é o produto vetorial entre v e w, que resulta em um vetor perpendicular a ambos. Quando fazemos o produto escalar de v com esse vetor perpendicular, o resultado é sempre zero.
Isso acontece porque o produto escalar mede o quanto dois vetores estão na mesma direção. Como v times w é perpendicular a v, o ângulo entre eles é de 90 graus, e o cosseno de 90 graus é zero. Portanto:
v cdot (v times w) = 0

Resposta

(u times v) cdot w = det(u, v, w) e v cdot(v times w) = 0.

Exercícios relacionados