Calcule
e
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para calcular
e
. O conteúdo que vamos usar aqui envolve produtos vetoriais e produtos escalares, que são partes da álgebra vetorial. Para isso, vamos precisar entender como funcionam o produto vetorial, o produto escalar e algumas propriedades importantes desses produtos.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular
. Aqui,
representa o produto vetorial entre os vetores
e
, que resulta em um vetor perpendicular aos dois. Depois, fazemos o produto escalar desse resultado com o vetor
.
Uma propriedade importante é que
é igual ao determinante da matriz formada pelos vetores
,
e
. Isso é conhecido como produto misto ou produto escalar triplo. Matematicamente, temos:
Passo 3
Agora, vamos calcular
. Aqui,
é o produto vetorial entre
e
, que resulta em um vetor perpendicular a ambos. Quando fazemos o produto escalar de
com esse vetor perpendicular, o resultado é sempre zero.
Isso acontece porque o produto escalar mede o quanto dois vetores estão na mesma direção. Como
é perpendicular a
, o ângulo entre eles é de 90 graus, e o cosseno de 90 graus é zero. Portanto: