Calcule e .

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular e . O conteúdo que vamos usar aqui envolve produtos vetoriais e produtos escalares, que são partes da álgebra vetorial. Para isso, vamos precisar entender como funcionam o produto vetorial, o produto escalar e algumas propriedades importantes desses produtos.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular . Aqui, representa o produto vetorial entre os vetores e , que resulta em um vetor perpendicular aos dois. Depois, fazemos o produto escalar desse resultado com o vetor .
Uma propriedade importante é que é igual ao determinante da matriz formada pelos vetores , e . Isso é conhecido como produto misto ou produto escalar triplo. Matematicamente, temos:

Passo 3

Agora, vamos calcular . Aqui, é o produto vetorial entre e , que resulta em um vetor perpendicular a ambos. Quando fazemos o produto escalar de com esse vetor perpendicular, o resultado é sempre zero.
Isso acontece porque o produto escalar mede o quanto dois vetores estão na mesma direção. Como é perpendicular a , o ângulo entre eles é de 90 graus, e o cosseno de 90 graus é zero. Portanto:

Resposta

e .

Exercícios relacionados

(10 pontos) Dada a matriz
Verifique se ela satisfaz a equação
São listados nos itens abaixo conjuntos munidos de operações de soma vetorial e multiplicação escalar. Determine quais deles tem essas operações bem definidas para todos os seus elementos (no sentido de definirem elementos de ), e quais destes satisfazem os axiomas de um espaço vetorial (real). Justifique por que os restantes não são espaços vetoriais mostrando que pelo menos um dos axiomas de espaço vetorial falha, ou que uma das duas operações não é sempre bem definida em : O axioma (f) falha.
Determine o ponto de interseção da reta com o plano ;
Calcule .