Determine o ponto de interseção da reta com o plano 2 x+z=5;
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma reta definida pelas equações paramétricas:
x = 1 + t y = -2 z = 4 + 2t
E um plano dado pela equação:
2x + z = 5
Nosso objetivo é encontrar o ponto onde essa reta intercepta o plano. Para isso, vamos utilizar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre retas e planos no espaço tridimensional.
Passo 2
Para encontrar o ponto de interseção, precisamos substituir as expressões de 2(1 + t) + (4 + 2t) = 5 e da reta na equação do plano. Assim, substituímos e na equação do plano:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar o valor de 2 + 2t + 4 + 2t = 5 . Primeiro, distribuímos os coeficientes:
6 + 4t = 5
Somando os termos semelhantes:
4t = -1
Subtraindo 6 de ambos os lados:
t = -14
Dividindo ambos os lados por 4:
Passo 4
Com o valor de x = 1 + ( -14 ) = 34 y = -2 z = 4 + 2( -14 ) = 72 encontrado, vamos substituir esse valor de volta nas equações da reta para encontrar as coordenadas do ponto de interseção: