(10 pontos) Escreva equações paramétricas da projeção da reta sobre o plano pi: x-2 y+z-1=0.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para escrever as equações paramétricas da projeção da reta sobre o plano . Para isso, vamos precisar entender conceitos de geometria analítica, como projeção de vetores e equações paramétricas de retas e planos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a direção da reta x = 1 + t y = 1 + t z = -1 + t , t in R . A reta é dada por:
Aqui, o vetor diretor da reta é .
Passo 3
Agora, vamos analisar o plano x - 2y + z - 1 = 0 que é definido por:
O vetor normal ao plano é .
Passo 4
Para encontrar a projeção da reta Projpi(a) = a - a cdot nn cdot n n sobre o plano vproj = v - v cdot nn cdot n n , precisamos projetar o vetor diretor v cdot n = 1 times 1 + 1 times (-2) + 1 times 1 = 0 no plano. A fórmula para a projeção de um vetor n cdot n = 1^2 + (-2)^2 + 1^2 = 6 sobre um plano com vetor normal vproj = v - 0 times n = v = (1, 1, 1) é:
Aplicando isso ao nosso caso:
Calculando os produtos escalares:
Então:
Isso significa que o vetor diretor já está na direção paralela ao plano.
Passo 5
Agora, precisamos encontrar um ponto da reta P = (1, 1, -1) que será projetado sobre o plano P' = P - (P cdot n + d)n cdot n n . Vamos pegar P cdot n = 1 times 1 + 1 times (-2) + (-1) times 1 = -2 na reta P' = (1, 1, -1) - (-2) + (-1)6 (1, -2, 1) = (1, 1, -1) - -36 (1, -2, 1) = (1, 1, -1) + 12 (1, -2, 1) :
P' = (1 + 12,, 1 - 1,, -1 + 12) = (32,, 0,, -12)
Para projetar o ponto sobre o plano, usamos a fórmula da projeção de um ponto sobre o plano :
Onde (da equação do plano). Calculando:
Resposta
As equações paramétricas da projeção da reta x = 32 + t y = 0 + t z = -12 + t , t in R sobre o plano são: