(10 pontos) Escreva equações paramétricas da reta simétrica à reta r:cx=1+t y=1+t z=-1+t, t in R em relação ao plano pi: x-2 y+z-1=0.

Passo 1

Neste exercício, precisamos encontrar as equações paramétricas da reta que é simétrica à reta x = 1 + t y = 1 + t z = -1 + t em relação ao plano . Para resolver isso, vamos usar conceitos de simetria de retas em relação a planos na geometria analítica.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar um ponto específico na reta . Vamos considerar quando , temos o ponto .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a imagem desse ponto P' = ( x0 - 2aax0 + by0 + cz0 + da^2 + b^2 + c^2, y0 - 2bax0 + by0 + cz0 + da^2 + b^2 + c^2, z0 - 2cax0 + by0 + cz0 + da^2 + b^2 + c^2 ) em relação ao plano . Para isso, usamos a fórmula de reflexão de um ponto em relação a um plano. A fórmula geral para encontrar a imagem de um ponto em relação ao plano é:

Passo 4

Aplicando a fórmula ao ponto a^2 + b^2 + c^2 = 1^2 + (-2)^2 + 1^2 = 1 + 4 + 1 = 6 e ao plano ax0 + by0 + cz0 + d = (1)(1) + (-2)(1) + (1)(-1) + (-1) = 1 - 2 - 1 - 1 = -3 , identificamos que P' = ( 1 - 2 cdot 1 cdot -36, 1 - 2 cdot (-2) cdot -36, -1 - 2 cdot 1 cdot -36 ) , P' = ( 1 + 1, 1 - 2, -1 + 1 ) = (2, -1, 0) , e .
Calculando o denominador:
Calculando o numerador:
Então, a imagem será:
Simplificando:

Passo 5

O vetor diretor da reta é . Como a reta simétrica terá a mesma direção, o vetor diretor da reta simétrica será o mesmo.

Resposta

Assim, as equações paramétricas da reta simétrica são:
x = 2 + t y = -1 + t z = 0 + t , t in R

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