Seja V=P(x) o espaço vetorial dos polinômios reais. Decida se Wé, ou não é, uma subespaço de V , nos seguintes casos: W consiste em todos os polinômios de grau >= 6 e o polinômio zero.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se um conjunto específico de polinômios, chamado W, é um subespaço do espaço vetorial V, onde V é o conjunto de todos os polinômios de coeficientes reais. O W é formado por todos os polinômios que têm grau maior ou igual a 6, mais o polinômio zero. Para resolver isso, a gente vai usar os conceitos de subespaço vetorial e as propriedades que ele precisa satisfazer.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto W de um espaço vetorial V é considerado um subespaço se ele satisfaz três condições:
  1. O polinômio zero está em W.
  2. Se u e v estão em W, então u + v também está em W.
  3. Se u está em W e c é um número real, então c·u também está em W.
Vamos verificar essas condições para o nosso conjunto W.

Passo 3

A primeira condição é que o polinômio zero está em W. No enunciado, já está incluso que W contém o polinômio zero. Então, essa condição está satisfeita.

Passo 4

Agora, a segunda condição: se u e v estão em W, então a soma u + v também precisa estar em W. Vamos analisar isso. Se u e v são polinômios com grau ≥ 6, o grau da soma u + v pode ser menor que 6 se os termos de maior grau se cancelarem. Por exemplo, se u = x⁶ + x e v = -x⁶ + x², então u + v = x² + x, que tem grau 2, menor que 6. Isso significa que a soma de dois polinômios em W pode não estar mais em W.

Passo 5

Como encontramos um exemplo onde a soma de dois elementos de W não está em W, isso viola a segunda condição para ser um subespaço. Portanto, W não é fechado em relação à adição.

Passo 6

Mesmo sem verificar a terceira condição, já podemos concluir que W não é um subespaço de V, porque uma das condições necessárias não foi satisfeita.

Resposta

O conjunto W não é um subespaço do espaço vetorial V.

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