Seja o espaço vetorial dos polinômios reais. Decida se Wé, ou não é, uma subespaço de V , nos seguintes casos: W consiste em todos os polinômios de grau e o polinômio zero.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se um conjunto específico de polinômios, chamado W, é um subespaço do espaço vetorial V, onde V é o conjunto de todos os polinômios de coeficientes reais. O W é formado por todos os polinômios que têm grau maior ou igual a 6, mais o polinômio zero. Para resolver isso, a gente vai usar os conceitos de subespaço vetorial e as propriedades que ele precisa satisfazer.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto W de um espaço vetorial V é considerado um subespaço se ele satisfaz três condições:
O polinômio zero está em W.
Se u e v estão em W, então u + v também está em W.
Se u está em W e c é um número real, então c·u também está em W.
Vamos verificar essas condições para o nosso conjunto W.
Passo 3
A primeira condição é que o polinômio zero está em W. No enunciado, já está incluso que W contém o polinômio zero. Então, essa condição está satisfeita.
Passo 4
Agora, a segunda condição: se u e v estão em W, então a soma u + v também precisa estar em W. Vamos analisar isso. Se u e v são polinômios com grau ≥ 6, o grau da soma u + v pode ser menor que 6 se os termos de maior grau se cancelarem. Por exemplo, se u = x⁶ + x e v = -x⁶ + x², então u + v = x² + x, que tem grau 2, menor que 6. Isso significa que a soma de dois polinômios em W pode não estar mais em W.
Passo 5
Como encontramos um exemplo onde a soma de dois elementos de W não está em W, isso viola a segunda condição para ser um subespaço. Portanto, W não é fechado em relação à adição.
Passo 6
Mesmo sem verificar a terceira condição, já podemos concluir que W não é um subespaço de V, porque uma das condições necessárias não foi satisfeita.
Resposta
O conjunto W não é um subespaço do espaço vetorial V.