Nas afirmaçöes a seguir, associe V para as verdadeiras e F para as falsas.
() O polinômio p(x)-x^4-2 x^3+2 x^2-2 x+1 possui apenas uma raiz real.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos um polinômio e precisamos descobrir se ele tem apenas uma raiz real. Para resolver isso, vamos usar alguns conceitos de polinômios e suas raízes.

Passo 2

Primeiro, lembre-se que um polinômio de grau 4 pode ter até 4 raízes no total. Essas raízes podem ser reais ou complexas. Nosso objetivo é verificar quantas dessas raízes são reais.

Passo 3

Vamos tentar encontrar as raízes reais do polinômio. Uma maneira de começar é testando possíveis raízes racionais usando o Teorema das Raízes Racionais, que nos diz que as possíveis raízes racionais são os divisores do termo constante dividido pelo coeficiente líder. Aqui, o termo constante é -1 e o coeficiente líder é 1, então as possíveis raízes são .

Passo 4

Vamos testar p(1) = 1^4 + 2(1)^3 - 2(1)^2 + 2(1) -1 = 1 + 2 - 2 + 2 -1 = 2 :
Como , não é uma raiz.

Passo 5

Agora, vamos testar p(-1) = (-1)^4 + 2(-1)^3 - 2(-1)^2 + 2(-1) -1 = 1 - 2 - 2 - 2 -1 = -6 :
Como , também não é uma raiz.

Passo 6

Já que não encontramos raízes racionais, vamos analisar o comportamento do polinômio. Como o grau é 4 (um número par) e o coeficiente líder é positivo, sabemos que tende a quando tende a e também a quando tende a .

Passo 7

Vamos ver alguns valores de :
Como é negativo e é positivo, pelo Teorema do Valor Intermediário, deve existir pelo menos uma raiz real entre 0 e 1.

Passo 8

Para saber se há mais raízes reais, vamos olhar a derivada de p'(x) = 4x^3 + 6x^2 - 4x + 2 :
Resolver nos dá os pontos onde o polinômio pode mudar de direção (máximos e mínimos locais). Se houver mais de uma mudança de direção, isso indica que o polinômio pode cruzar o eixo x mais de uma vez, ou seja, ter mais de uma raiz real.
Dado que a derivada é um polinômio cúbico, ela pode ter até 3 raízes reais, sugerindo a possibilidade de múltiplas raízes para .

Resposta

F

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