Nas afirmaçöes a seguir, associe
para as verdadeiras e
para as falsas.
() O polinômio
possui apenas uma raiz real.
() O polinômio
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos um polinômio
e precisamos descobrir se ele tem apenas uma raiz real. Para resolver isso, vamos usar alguns conceitos de polinômios e suas raízes.
Passo 2
Primeiro, lembre-se que um polinômio de grau 4 pode ter até 4 raízes no total. Essas raízes podem ser reais ou complexas. Nosso objetivo é verificar quantas dessas raízes são reais.
Passo 3
Vamos tentar encontrar as raízes reais do polinômio. Uma maneira de começar é testando possíveis raízes racionais usando o Teorema das Raízes Racionais, que nos diz que as possíveis raízes racionais são os divisores do termo constante dividido pelo coeficiente líder. Aqui, o termo constante é -1 e o coeficiente líder é 1, então as possíveis raízes são
.
Passo 4
Vamos testar
:
Como
,
não é uma raiz.
Passo 5
Agora, vamos testar
:
Como
,
também não é uma raiz.
Passo 6
Já que não encontramos raízes racionais, vamos analisar o comportamento do polinômio. Como o grau é 4 (um número par) e o coeficiente líder é positivo, sabemos que
tende a
quando
tende a
e também a
quando
tende a
.
Passo 7
Vamos ver alguns valores de
:
Como
é negativo e
é positivo, pelo Teorema do Valor Intermediário, deve existir pelo menos uma raiz real entre 0 e 1.
Passo 8
Para saber se há mais raízes reais, vamos olhar a derivada de
:
Resolver
nos dá os pontos onde o polinômio pode mudar de direção (máximos e mínimos locais). Se houver mais de uma mudança de direção, isso indica que o polinômio pode cruzar o eixo x mais de uma vez, ou seja, ter mais de uma raiz real.
Dado que a derivada é um polinômio cúbico, ela pode ter até 3 raízes reais, sugerindo a possibilidade de múltiplas raízes para
.
Resposta
F