Considere
. Encontre um subespaço
de
tal que
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem um subespaço
e precisamos encontrar outro subespaço
tal que todo vetor em
possa ser escrito como a soma de um vetor de
e um vetor de
, sem sobreposição além do vetor zero. A matéria envolvida aqui é álgebra linear, especificamente a decomposição direta de espaços vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Isso quer dizer que qualquer vetor em
pode ser escrito de forma única como a soma de um vetor de
e um vetor de
. Além disso, a interseção entre
e
deve ser apenas o vetor zero.
Passo 3
Sabemos que
é a linha onde
. Para encontrar
, precisamos de uma linha que não seja paralela a
e que, junto com
, cubra todo o plano
. Uma boa escolha é a linha onde
, pois ela é perpendicular a
e garante que a soma direta funcione.
Passo 4
Vamos definir
como
. Agora, para qualquer vetor
em
, podemos escrever:
O primeiro vetor está em
e o segundo em
, garantindo a decomposição desejada.
Resposta
Um subespaço complementar é
.