Considere W1=(x, y) in R^2 mid x=y. Encontre um subespaço W2 de R^2 tal que R^2=W1 oplus W2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem um subespaço e precisamos encontrar outro subespaço tal que todo vetor em possa ser escrito como a soma de um vetor de e um vetor de , sem sobreposição além do vetor zero. A matéria envolvida aqui é álgebra linear, especificamente a decomposição direta de espaços vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Isso quer dizer que qualquer vetor em pode ser escrito de forma única como a soma de um vetor de e um vetor de . Além disso, a interseção entre e deve ser apenas o vetor zero.

Passo 3

Sabemos que é a linha onde . Para encontrar , precisamos de uma linha que não seja paralela a e que, junto com , cubra todo o plano . Uma boa escolha é a linha onde , pois ela é perpendicular a e garante que a soma direta funcione.

Passo 4

Vamos definir (a, b) = (a + b2, a + b2) + (a - b2, b - a2) como . Agora, para qualquer vetor em , podemos escrever:
O primeiro vetor está em e o segundo em , garantindo a decomposição desejada.

Resposta

Um subespaço complementar é .

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