(10 pontos ) lim x infty(1+2x+1)^3 x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Esse problema está relacionado com limites no cálculo, especificamente envolvendo potências e exponenciais. Para resolver, vamos usar propriedades dos limites e explorar como expressões desse tipo se comportam quando tende ao infinito.

Passo 2

Primeiro, observamos que a base da potência é . À medida que cresce, o termo fica cada vez menor, aproximando-se de zero. Isso significa que a base está se aproximando de 1.

Passo 3

Agora, temos que analisar o expoente, que é . Conforme tende ao infinito, também tende ao infinito. Então, estamos lidando com uma expressão que tem a forma .

Passo 4

Lembramos que lim x infty(1+2x+1)^3 x = lim x infty[(1+2x+1)^x+1]^3xx+1 . Vamos manipular nossa expressão para se encaixar nessa forma. Primeiro, reescrevemos o limite:

Passo 5

Agora, focamos na parte interna do limite: limx to infty (1+2x+1)^x+1 = e^2 . Conforme tende ao infinito, também tende ao infinito, então podemos aplicar a definição do :

Passo 6

Agora, analisamos o expoente externo: 3xx+1 = 31 + 1x implies limx to infty 3xx+1 = 3 . Dividindo numerador e denominador por , temos:

Passo 7

Juntando tudo, substituímos os limites encontrados:
lim x infty[(1+2x+1)^x+1]^3xx+1 = (e^2)^3 = e^6

Resposta

O limite é igual a .

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