Em um sistema de coordenadas cilindricas, formular usando apenas a definição estrutural do sistema cilíndrico, o seguinte:
(a) A distância entre dois pontos e .
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente tem dois pontos no sistema de coordenadas cilíndricas, que são dados por e . A tarefa é formular a distância entre esses dois pontos usando apenas a definição estrutural do sistema cilíndrico. Para isso, vamos precisar lembrar como calcular a distância entre dois pontos e como as coordenadas cilíndricas se relacionam com as coordenadas cartesianas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que no sistema cilíndrico, cada ponto é definido por três componentes: (a distância do ponto à origem no plano ), (o ângulo em relação ao eixo ), e (a coordenada vertical, igual à coordenada no sistema cartesiano).
Passo 3
Para achar a distância entre dois pontos, a gente pode usar a fórmula da distância no espaço tridimensional. Mas, como estamos trabalhando com coordenadas cilíndricas, precisamos converter esses pontos para coordenadas cartesianas para facilitar o cálculo. As conversões são:
Passo 4
Aplicando essas conversões nos pontos e , temos:
Passo 5
Agora, usamos a fórmula da distância entre dois pontos no espaço tridimensional:
Substituindo os valores que conseguimos:
Passo 6
Simplificando a expressão no plano , podemos fatorar e :
Isso porque e a fórmula do cosseno da diferença de ângulos.
Passo 7
Substituindo de volta na fórmula da distância, temos:
Resposta
A distância entre os pontos e no sistema de coordenadas cilíndricas é: