Em um sistema de coordenadas cilindricas, formular usando apenas a definição estrutural do sistema cilíndrico, o seguinte:
(a) A distância entre dois pontos e .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente tem dois pontos no sistema de coordenadas cilíndricas, que são dados por e . A tarefa é formular a distância entre esses dois pontos usando apenas a definição estrutural do sistema cilíndrico. Para isso, vamos precisar lembrar como calcular a distância entre dois pontos e como as coordenadas cilíndricas se relacionam com as coordenadas cartesianas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que no sistema cilíndrico, cada ponto é definido por três componentes: (a distância do ponto à origem no plano ), (o ângulo em relação ao eixo ), e (a coordenada vertical, igual à coordenada no sistema cartesiano).

Passo 3

Para achar a distância entre dois pontos, a gente pode usar a fórmula da distância no espaço tridimensional. Mas, como estamos trabalhando com coordenadas cilíndricas, precisamos converter esses pontos para coordenadas cartesianas para facilitar o cálculo. As conversões são:

Passo 4

Aplicando essas conversões nos pontos e , temos:

Passo 5

Agora, usamos a fórmula da distância entre dois pontos no espaço tridimensional:
Substituindo os valores que conseguimos:

Passo 6

Simplificando a expressão no plano , podemos fatorar e :
Isso porque e a fórmula do cosseno da diferença de ângulos.

Passo 7

Substituindo de volta na fórmula da distância, temos:

Resposta

A distância entre os pontos e no sistema de coordenadas cilíndricas é:

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pontos .
Em um sistema de coordenadas esféricas, formular usando apenas a definição estrutural do sistema esférico, o seguinte:
(d) A equação do plano que passa por e é otorgonal a .
Em um sistema de coordenadas esféricas, formular usando apenas a definição estrutural do sistema esférico, o seguinte:
(a) A distância entre dois pontos e .