Verifique que a função y = C x^2 + x + 3 é uma solução para o PVI
x^2 y'' - 2 x y' + 2 y = 6, y(0) = 3, y'(0) = 1
no intervalo -\infty, +\infty para qualquer escolha do parâmetro C.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função e precisamos verificar se ela é solução do Problema de Valor Inicial (PVI):
Aqui, trabalharemos com equações diferenciais e iremos calcular as derivadas da função para substituir na equação dada. Precisaremos saber como calcular derivadas e substituir na equação para verificar se a função satisfaz todas as condições.

Passo 2

Vamos começar calculando a primeira derivada de em relação a . A função dada é:
A derivada de em relação a é:

Passo 3

Agora, calculamos a segunda derivada de :

Passo 4

Vamos substituir , e na equação diferencial dada:
Substituindo:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão passo a passo:
  1. Multiplicando por :
  1. Multiplicando por :
  1. Multiplicando por :
Agora, reunindo tudo:

Passo 6

Simplificando os termos semelhantes:
Portanto, a equação reduz para:

Passo 7

Como a igualdade é verdadeira para qualquer valor de , isso mostra que a função satisfaz a equação diferencial dada para qualquer constante .

Passo 8

Agora, vamos verificar as condições iniciais:
  1. :
Está correto.
  1. :
Também está correto, independente do valor de .

Resposta

A função é uma solução do PVI dado para qualquer valor do parâmetro .

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