Verifique que a função
é uma solução para o PVI
no intervalo
para qualquer escolha do parâmetro
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função
e precisamos verificar se ela é solução do Problema de Valor Inicial (PVI):
Aqui, trabalharemos com equações diferenciais e iremos calcular as derivadas da função
para substituir na equação dada. Precisaremos saber como calcular derivadas e substituir na equação para verificar se a função satisfaz todas as condições.
Passo 2
Vamos começar calculando a primeira derivada de
em relação a
. A função dada é:
A derivada de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, calculamos a segunda derivada de
:
Passo 4
Vamos substituir
,
e
na equação diferencial dada:
Substituindo:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão passo a passo:
- Multiplicando
por :
- Multiplicando
por :
- Multiplicando
por :
Agora, reunindo tudo:
Passo 6
Simplificando os termos semelhantes:
Portanto, a equação reduz para:
Passo 7
Como a igualdade é verdadeira para qualquer valor de
, isso mostra que a função
satisfaz a equação diferencial dada para qualquer constante
.
Passo 8
Agora, vamos verificar as condições iniciais:
-
:
Está correto.
-
:
Também está correto, independente do valor de
.
Resposta
A função
é uma solução do PVI dado para qualquer valor do parâmetro
.
Exercícios relacionados
Seja
. Encontre
se existir.
O Problema de valor inicial:
possui a solução trivial
. Como a equação de terceira ordem é linear com coeficientes constantes,
é a única solução em qualquer intervalo contendo
.
Considerando caminhos diferentes que se aproximam da origem, mostre que as funções nos exercícios 35-42 não têm limite quando