Considerando caminhos diferentes que se aproximam da origem, mostre que as funções nos exercícios 35-42 não têm limite quando
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma função
e queremos mostrar que essa função não tem limite quando
se aproxima de
. Para isso, vamos analisar como a função se comporta ao nos aproximarmos da origem por diferentes caminhos. Isso envolve conceitos de limites em multivariáveis e como eles podem variar dependendo da direção que a gente escolhe para chegar lá.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa dizer que uma função não tem limite em um ponto. Em funções de uma variável, se o limite existir, a função se aproxima de um valor específico conforme nos aproximamos do ponto. Em funções de duas variáveis, precisamos que todos os caminhos que levam ao ponto resultem no mesmo valor de limite. Se a gente achar caminhos diferentes que dão limites diferentes, isso prova que o limite geral não existe.
Passo 3
Vamos escolher alguns caminhos simples para nos aproximarmos de
e calcular o limite da função
em cada um desses caminhos.
Caminho 1:
Aqui, estamos nos aproximando da origem ao longo do eixo
. Substituindo
na função:
Então, o limite nesse caminho é:
Caminho 2:
Agora, vamos nos aproximar da origem ao longo da parábola
. Substituindo
na função:
Então, o limite nesse caminho é:
Caminho 3:
Vamos tentar um caminho diferente, como a reta
. Substituindo
na função:
Agora, calculando o limite quando
se aproxima de 0:
Resposta
Como vimos, diferentes caminhos deram diferentes valores de limite: 1,
e 0. Isso mostra que o limite de
não existe quando
se aproxima de
.
Exercícios relacionados
Verifique que a função
é uma solução para o PVI
no intervalo
para qualquer escolha do parâmetro
.
Seja
. Encontre
se existir.
Uma balsa de carros é essencialmente retangular. Sendo suas dimensões de
de largura e 90 m de comprimento. Se 60 carros, com um peso médio por carro de 15000 N , são carregados sobre a balsa, quanto ela vai afundar na água?