(10 pontos) lim x 2 raizx+2-2raizx-raiz2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Esse exercício envolve cálculo de limites, especificamente lidando com raízes quadradas. Para resolver, vamos precisar manipular a expressão para eliminar as raízes e simplificar a fração.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar substituindo raiz2+2-2raiz2-raiz2 = raiz4-20 = 2-20 = 00 diretamente na expressão:
Esse resultado é indefinido, então precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Para eliminar as raízes, vamos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do numerador. O conjugado de raizx+2-2raizx-raiz2 times raizx+2+2raizx+2+2 = (raizx+2-2)(raizx+2+2)(raizx-raiz2)(raizx+2+2) é . Então, temos:

Passo 4

No numerador, usamos a diferença de quadrados:
(raizx+2-2)(raizx+2+2) = (raizx+2)^2 - 2^2 = (x + 2) - 4 = x - 2
Então, agora temos:
x - 2(raizx-raiz2)(raizx+2+2)

Passo 5

Agora, podemos fatorar o numerador x - 2 = (raizx)^2 - (raiz2)^2 = (raizx - raiz2)(raizx + raiz2) como (raizx - raiz2)(raizx + raiz2)(raizx-raiz2)(raizx+2+2) que é a diferença de quadrados:
Substituindo na expressão:

Passo 6

Podemos cancelar raizx + raiz2raizx+2 + 2 no numerador e denominador:

Passo 7

Agora, substituímos raiz2 + raiz2raiz2+2 + 2 = 2raiz22 + 2 = 2raiz24 = raiz22 na expressão simplificada:

Resposta

O limite é .

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