Denotemos por
e
, os funcionais escalares canônicos definidos como segue:
e
de modo que para todo
,
Para cada ponto
, defina o funcional linear
dado por
ou seja,
é uma combinação linear da base dual canônica do
que, por definição,
Para uma curva
, define-se
Calcular
em cada ítem seguinte:
(a)
(a)
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está nos pedindo e identificar o conteúdo necessário para resolver. Temos uma função linear
definida no espaço
como uma combinação das funções lineares canônicas
,
e
. A tarefa é calcular a integral de linha dessa função ao longo da curva
no intervalo
. Para isso, precisamos entender como aplicar a definição de integral de linha utilizando combinações lineares e derivadas de curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função linear
. Ela é definida como:
Isso significa que, para qualquer vetor
, temos:
Aqui,
,
, e
são as coordenadas do ponto
no espaço
.
Passo 3
Agora vamos parametrizar a curva
. Para calcular a integral de linha
, precisamos encontrar a derivada da curva
em relação a
:
Passo 4
Segundo a definição da integral de linha:
Precisamos substituir
e
nessa expressão. Primeiro, identificamos
,
,
em termos de
:
Passo 5
Substituindo
,
,
na expressão de
:
Simplificando cada termo:
Passo 6
Agora, substituímos essa expressão na integral:
Vamos integrar termo a termo.
Passo 7
Calculando a integral:
Resposta
Somando todos os resultados:
Portanto,
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a partir da função
no ponto
. Compare o valor estimado com o valor real.
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.