Denotemos por e , os funcionais escalares canônicos definidos como segue:
e de modo que para todo ,
Para cada ponto , defina o funcional linear
dado por
ou seja, é uma combinação linear da base dual canônica do que, por definição,
Para uma curva , define-se
Calcular em cada ítem seguinte:
(a)

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está nos pedindo e identificar o conteúdo necessário para resolver. Temos uma função linear definida no espaço como uma combinação das funções lineares canônicas , e . A tarefa é calcular a integral de linha dessa função ao longo da curva no intervalo . Para isso, precisamos entender como aplicar a definição de integral de linha utilizando combinações lineares e derivadas de curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função linear . Ela é definida como:
Isso significa que, para qualquer vetor , temos:
Aqui, , , e são as coordenadas do ponto no espaço .

Passo 3

Agora vamos parametrizar a curva . Para calcular a integral de linha , precisamos encontrar a derivada da curva em relação a :

Passo 4

Segundo a definição da integral de linha:
Precisamos substituir e nessa expressão. Primeiro, identificamos , , em termos de :

Passo 5

Substituindo , , na expressão de :
Simplificando cada termo:

Passo 6

Agora, substituímos essa expressão na integral:
Vamos integrar termo a termo.

Passo 7

Calculando a integral:

Resposta

Somando todos os resultados:
Portanto,

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