Denotemos por d x, d y e d z, os funcionais escalares canônicos definidos como segue:
d x: R^3 longrightarrow R, d y: R^3 longrightarrow R e d z: R^3 longrightarrow R de modo que para todo v=(v1, v2, v3) in R^3,
d x(v)=v1, d y(v)=v2 e d z(v)=v3
Para cada ponto P=(x, y, z) in R^3, defina o funcional linear
phi(x, y, z): R^3 longrightarrow R
dado por
phi(x, y, z)=x y d x+x z d y+y z d z
ou seja, phi é uma combinação linear da base dual canônica do (R^3)^star que, por definição,
phi(x, y, z)(v)=x y d x(v)+x z d y(v)+y z d z(v)
Para uma curva alpha:[a, b] longrightarrow R^3, define-se
integralalpha phi=integrala^b phialpha(t)(alpha^prime(t)) d t
Calcular integralalpha phi em cada ítem seguinte:
(a) alpha(t)=(t, t^2, t^3), t in[0,2]

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está nos pedindo e identificar o conteúdo necessário para resolver. Temos uma função linear phi(x, y, z) definida no espaço R^3 como uma combinação das funções lineares canônicas d x, d y e d z. A tarefa é calcular a integral de linha dessa função ao longo da curva alpha(t) = (t, t^2, t^3) no intervalo t in [0,2]. Para isso, precisamos entender como aplicar a definição de integral de linha utilizando combinações lineares e derivadas de curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função linear phi(x, y, z). Ela é definida como:
phi(x, y, z) = x y d x + x z d y + y z d z
Isso significa que, para qualquer vetor v = (v1, v2, v3), temos:
phi(x, y, z)(v) = x y v1 + x z v2 + y z v3
Aqui, x, y, e z são as coordenadas do ponto P = (x, y, z) no espaço R^3.

Passo 3

Agora vamos parametrizar a curva alpha(t) = (t, t^2, t^3). Para calcular a integral de linha integralalpha phi, precisamos encontrar a derivada da curva alpha(t) em relação a t:
alpha'(t) = (ddt t, ddt t^2, ddt t^3) = (1, 2t, 3t^2)

Passo 4

Segundo a definição da integral de linha:
integralalpha phi = integral0^2 phialpha(t)(alpha'(t)) dt
Precisamos substituir phialpha(t) e alpha'(t) nessa expressão. Primeiro, identificamos x, y, z em termos de t:
x = t, y = t^2, z = t^3

Passo 5

Substituindo x, y, z na expressão de phi:
phialpha(t)(alpha'(t)) = x y v1 + x z v2 + y z v3 = t cdot t^2 cdot 1 + t cdot t^3 cdot 2t + t^2 cdot t^3 cdot 3t^2
Simplificando cada termo:
= t^3 + 2t^5 + 3t^7

Passo 6

Agora, substituímos essa expressão na integral:
integral0^2 ( t^3 + 2t^5 + 3t^7 ) dt
Vamos integrar termo a termo.

Passo 7

Calculando a integral:
integral0^2 t^3 dt = [t^44]0^2 = 164 - 0 = 4
integral0^2 2t^5 dt = 2 [t^66]0^2 = 2 (646 - 0) = 1286 = 643
integral0^2 3t^7 dt = 3 [t^88]0^2 = 3 (2568 - 0) = 3 times 32 = 96

Resposta

Somando todos os resultados:
4 + 643 + 96 = 123 + 643 + 2883 = 3643
Portanto,
integralalpha phi = 3643

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