Dada a função f(x) = ln(x), encontre a aproximação linear em x = 1. Use a aproximação para estimar ln(1.1).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos a função e precisamos encontrar a aproximação linear dessa função no ponto . Depois disso, usaremos essa aproximação para estimar o valor de .
Para resolver isso, vamos precisar:
  • Conhecer o conceito de aproximação linear, que utiliza a reta tangente para aproximar o valor da função perto de um ponto específico.
  • Calcular a derivada da função para encontrar a inclinação da reta tangente.
  • Aplicar a fórmula da aproximação linear.

Passo 2

Vamos começar calculando a derivada da função . A derivada de é:
Isso nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da função.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a inclinação da reta tangente no ponto :
Então, a inclinação da reta tangente no ponto é 1.

Passo 4

Em seguida, precisamos do valor da função no ponto :
Portanto, a reta tangente passa pelo ponto .

Passo 5

Com a inclinação e o ponto, podemos montar a equação da aproximação linear usando a fórmula:
Onde . Substituindo os valores:
Então, a aproximação linear da função em é .

Passo 6

Agora, vamos usar essa aproximação para estimar . Substituindo na equação da aproximação linear:

Resposta

A aproximação linear de é 0,1.

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