Prove, usando a definição, que a função abaixo
é descontínua no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede pra gente provar que uma função
é descontínua no ponto
. A função é definida assim:
O conteúdo envolvido aqui é a continuidade de funções. Pra resolver isso, a gente vai precisar entender o que significa uma função ser contínua em um ponto e como calcular os limites laterais da função nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade em um ponto. Uma função
é contínua em
se três condições forem verdadeiras:
-
está definida. - O limite de
quando se aproxima de existe. - O limite de
quando se aproxima de é igual a .
Se alguma dessas condições não for atendida, a função é descontínua em
.
Passo 3
Vamos verificar essas condições para
.
1.
está definida?
Olha a definição da função:
- Para
, .
Então,
Ent��o,
está definida e vale 3.
Passo 4
2. O limite de
quando
se aproxima de 2 existe?
Pra isso, precisamos calcular o limite pela esquerda (
) e o limite pela direita (
).
Limite pela esquerda (
):
Nesse caso,
, então usamos
.
Limite pela direita (
):
Aqui,
, então usamos
.
Passo 5
3. O limite geral existe e é igual a
?
O limite geral de
quando
se aproxima de 2 existe somente se os limites pela esquerda e pela direita forem iguais. Nesse caso:
Como 2 é diferente de 3, o limite geral não existe.
Além disso, mesmo se fosse igual, teríamos que verificar se esse limite é igual a
, que é 3. Mas como os limites laterais já não coincidem, já dá pra concluir.
Resposta
A função
é descontínua no ponto
porque os limites laterais são diferentes.