Prove, usando a definição, que a função abaixo f: R -> R é descontínua no ponto a = 2.
f(x) = { x^2 - 2, se x em (-infinito, 2) ; 3x - 3, se x em [2, +infinito) }

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede pra gente provar que uma função é descontínua no ponto . A função é definida assim:
O conteúdo envolvido aqui é a continuidade de funções. Pra resolver isso, a gente vai precisar entender o que significa uma função ser contínua em um ponto e como calcular os limites laterais da função nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade em um ponto. Uma função é contínua em se três condições forem verdadeiras:
  1. está definida.
  2. O limite de quando se aproxima de existe.
  3. O limite de quando se aproxima de é igual a .
Se alguma dessas condições não for atendida, a função é descontínua em .

Passo 3

Vamos verificar essas condições para .
1. está definida?
Olha a definição da função:
  • Para , .
Então,
Ent��o, está definida e vale 3.

Passo 4

2. O limite de quando se aproxima de 2 existe?
Pra isso, precisamos calcular o limite pela esquerda ( ) e o limite pela direita ( ).
Limite pela esquerda ( ):
Nesse caso, , então usamos .
Limite pela direita ( ):
Aqui, , então usamos .

Passo 5

3. O limite geral existe e é igual a ?
O limite geral de quando se aproxima de 2 existe somente se os limites pela esquerda e pela direita forem iguais. Nesse caso:
Como 2 é diferente de 3, o limite geral não existe.
Além disso, mesmo se fosse igual, teríamos que verificar se esse limite é igual a , que é 3. Mas como os limites laterais já não coincidem, já dá pra concluir.

Resposta

A função é descontínua no ponto porque os limites laterais são diferentes.

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