(10 pontos) lim x -2 x+2raizx^2-3-raiz2 x+5

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite:
lim x -2 x+2raizx^2-3-raiz2 x+5
Aqui, estamos lidando com limites que envolvem expressões com raízes. Para resolver, vamos precisar simplificar a fração para eliminar a indeterminação que aparece quando substituímos .

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o que acontece quando substituímos x + 2 = -2 + 2 = 0 na expressão:
No numerador:
raiz(-2)^2 - 3 - raiz2(-2) + 5 = raiz4 - 3 - raiz-4 + 5 = raiz1 - raiz1 = 1 - 1 = 0
No denominador:
Então, temos uma forma indeterminada , o que significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Uma técnica útil para resolver esse tipo de limite é multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. O conjugado de x+2raizx^2-3-raiz2 x+5 times raizx^2-3+raiz2 x+5raizx^2-3+raiz2 x+5 é (x+2)(raizx^2-3+raiz2 x+5)(raizx^2-3)^2 - (raiz2 x+5)^2 . Vamos fazer isso:
Isso nos dá:

Passo 4

Agora, vamos simplificar o denominador usando a identidade (raizx^2-3)^2 - (raiz2 x+5)^2 = (x^2-3) - (2x+5) = x^2 - 3 - 2x - 5 = x^2 - 2x - 8 :
(x+2)(raizx^2-3+raiz2 x+5)x^2 - 2x - 8
Então, a expressão fica:

Passo 5

Vamos fatorar o denominador x^2 - 2x - 8 = (x + 2)(x - 4) . Procuramos dois números que multiplicados dão -8 e somados dão -2. Esses números são -4 e +2:
(x+2)(raizx^2-3+raiz2 x+5)(x + 2)(x - 4)
Substituindo na expressão:

Passo 6

Agora, podemos cancelar o termo raizx^2-3+raiz2 x+5x - 4 no numerador e denominador, já que (estamos calculando o limite):

Passo 7

Finalmente, substituímos raiz(-2)^2 - 3 + raiz2(-2) + 5 = raiz4 - 3 + raiz-4 + 5 = 1 + 1 = 2 na expressão simplificada:
No numerador:
-2 - 4 = -6
No denominador:
2-6 = -13
Então, temos:

Resposta

lim x -2 x+2raizx^2-3-raiz2 x+5 = -13

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