(a) Obtenha uma solução geral da EDO: .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa Equação Diferencial Ordinária (EDO) que é: . O conteúdo que a gente vai usar aqui é o de equações lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar encontrar um fator integrante que vai nos ajudar a simplificar a equação e, assim, obter a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão das equações lineares de primeira ordem, que é:
Comparando com a nossa equação:
Aqui, temos e .

Passo 3

O próximo passo é encontrar o fator integrante . Ele é dado por:
Substituindo :

Passo 4

Agora, a gente multiplica toda a equação original pelo fator integrante:
Simplificando o lado direito:

Passo 5

O lado esquerdo da equação agora pode ser escrito como a derivada do produto . Ou seja:
Isso facilita bastante, porque agora temos uma equação mais simples para resolver.

Passo 6

Integrando ambos os lados em relação a :
Do lado esquerdo, a integral da derivada é apenas :
onde é a constante de integração.

Passo 7

Para isolar , multiplicamos ambos os lados por :

Resposta

A solução geral da EDO é:
onde é uma constante arbitrária.

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