(a) Obtenha uma solução geral da EDO:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa Equação Diferencial Ordinária (EDO) que é:
. O conteúdo que a gente vai usar aqui é o de equações lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar encontrar um fator integrante que vai nos ajudar a simplificar a equação e, assim, obter a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão das equações lineares de primeira ordem, que é:
Comparando com a nossa equação:
Aqui, temos
e
.
Passo 3
O próximo passo é encontrar o fator integrante
. Ele é dado por:
Substituindo
:
Passo 4
Agora, a gente multiplica toda a equação original pelo fator integrante:
Simplificando o lado direito:
Passo 5
O lado esquerdo da equação agora pode ser escrito como a derivada do produto
. Ou seja:
Isso facilita bastante, porque agora temos uma equação mais simples para resolver.
Passo 6
Integrando ambos os lados em relação a
:
Do lado esquerdo, a integral da derivada é apenas
:
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Para isolar
, multiplicamos ambos os lados por
:
Resposta
A solução geral da EDO é:
onde
é uma constante arbitrária.