(10 pontos) Use derivação termo a termo na parte (a) para encontrar uma série de potências para
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar uma série de potências para a expressão
usando derivação termo a termo. Isso significa que vamos usar conceitos de séries geométricas e derivadas para chegar na resposta. Vamos precisar saber como funciona a série geométrica básica e como diferenciá-la termo a termo.
Passo 2
Primeiro, lembramos que a série geométrica básica é:
Essa série é conhecida e serve como ponto de partida. No nosso caso, temos
, então substituímos
por
:
Passo 3
Agora, para chegar em
, vamos derivar ambos os lados da equação acima em relação a
. A derivada da esquerda é:
No lado direito, a derivada termo a termo fica:
Então temos:
Passo 4
Para facilitar, vamos ajustar a série para que as potências de
fiquem com expoente
em vez de
. Fazemos uma mudança de índice, deixando
. Assim, substituímos
por
:
Como
começa em
, mas para
o termo é zero, a série efetivamente começa em
:
Resposta
Portanto, a série de potências para
é:
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Calcule
, onde:
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, onde:
Calcule
, onde:
, onde
.
(10pontos) Encontre a série de Maclaurin para
.