Calcule y' = dy/dx, onde: y = (x sen(x^2)) / (x^2 + tg(x))

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada de . Esse problema envolve o cálculo de derivadas, especificamente usando a regra do quociente. Para resolver, vamos precisar lembrar dessa regra e também como derivar funções trigonômicas e polinomiais.

Passo 2

Primeiro, identificamos as partes do quociente. Temos uma função do tipo , onde:

Passo 3

A regra do quociente nos diz que a derivada de é:
Então, precisamos encontrar as derivadas de e .

Passo 4

Vamos derivar . Aqui, usamos a regra do produto, que é .
  • então
  • então (usando a regra da cadeia)
Portanto:

Passo 5

Agora, vamos derivar .
  • A derivada de é
  • A derivada de é
Então:

Passo 6

Agora que temos e , aplicamos a regra do quociente:

Passo 7

Podemos simplificar a expressão, mas para manter a clareza, vamos deixar assim. Essa é a derivada de em termos de .

Resposta

A derivada de é:

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(10 pontos) Use o Teorema do Resto ou seus corolários para provar que a série encontrada na parte (a) representa a função cosseno para qualquer valor x real.
Calcule y' = dy/dx, onde: y = raiz(x^2) - x^2 + 1
Calcule y' = dy/dx, onde: y = x^2 + 3 * e^(cos(x^2 - 4))
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9/((1-9*x)^(2))