Calcule
, onde:
, onde
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada de
em relação a
, ou seja,
, quando a equação que relaciona
e
é
. O conteúdo que vamos usar aqui é derivada implícita, que é uma técnica para encontrar
quando
está embutido na equação junto com
.
Passo 2
Primeiro, vamos diferenciar cada termo da equação
em relação a
. Lembre-se que quando a gente deriva
em relação a
, a gente precisa usar a regra da cadeia, então
.
Passo 3
Vamos diferenciar termo a termo:
- Derivada de
em relação a é . - Derivada de
usa a regra do produto: - Derivada de
em relação a é:
Passo 4
Agora, juntamos todas as derivadas que calculamos:
Passo 5
Vamos isolar os termos que contêm
:
Passo 6
Fatoramos
do lado esquerdo da equação:
Passo 7
Finalmente, resolvemos para
dividindo ambos os lados por
:
Resposta
A derivada
é:
Exercícios relacionados
(10 pontos) Use derivação termo a termo na parte (a) para encontrar uma série de potências para
Calcule
, onde:
(10pontos) Encontre a série de Maclaurin para
.
Mostre que
, seja qual for o
.