Calcule y' = dy/dx, onde: x^2 + x^3 * y - 2 * y^2 = 0, onde y = f(x).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada de em relação a , ou seja, , quando a equação que relaciona e é . O conteúdo que vamos usar aqui é derivada implícita, que é uma técnica para encontrar quando está embutido na equação junto com .

Passo 2

Primeiro, vamos diferenciar cada termo da equação em relação a . Lembre-se que quando a gente deriva em relação a , a gente precisa usar a regra da cadeia, então .

Passo 3

Vamos diferenciar termo a termo:
  1. Derivada de em relação a é .
  2. Derivada de usa a regra do produto:
  3. Derivada de em relação a é:

Passo 4

Agora, juntamos todas as derivadas que calculamos:

Passo 5

Vamos isolar os termos que contêm :

Passo 6

Fatoramos do lado esquerdo da equação:

Passo 7

Finalmente, resolvemos para dividindo ambos os lados por :

Resposta

A derivada é:

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