(10 pontos) Use o Teorema do Resto ou seus corolários para provar que a série encontrada na parte (a) representa a função cosseno para qualquer valor x real.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para usar o Teorema do Resto ou seus corolários para provar que a série que encontramos na parte (a) realmente representa a função cosseno para qualquer valor real de . Basicamente, vamos mostrar que essa série se aproxima cada vez mais de conforme somamos mais termos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a série que encontramos para na parte (a). A série de Taylor (ou Maclaurin) para é:
Essa série tem infinitos termos, e queremos provar que somando todos esses termos, a série realmente dá para qualquer real.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre o Teorema do Resto. Esse teorema nos ajuda a entender o erro que fica quando cortamos a série em um certo número de termos. Especificamente, o resto após o -ésimo termo nos dá uma medida de quão perto a soma parcial está de .
Para a série de Taylor, o resto pode ser estimado pela fórmula de Lagrange:
onde está entre 0 e , e é a -ésima derivada de . Sabemos que todas as derivadas de são limitadas por 1 em módulo.

Passo 4

Vamos aplicar essa fórmula ao nosso caso. Para , temos:
Isso acontece porque para qualquer .

Passo 5

Agora, queremos mostrar que tende a zero quando tende ao infinito, independentemente do valor de . Observe que, para qualquer fixo, o denominador cresce muito mais rápido do que o numerador . Portanto:
Isso significa que o resto fica cada vez menor, ou seja, a soma parcial da série se aproxima de .

Resposta

Assim, usando o Teorema do Resto, provamos que a série realmente representa a função cosseno para qualquer valor real de .

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