(10 Pontos). Utilize os métodos de Erro e Polinômio de Taylor para calcular o valor numérico de
com precisão de 2 casas decimais. E faça uma comparação percentual com o valor padrão.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular o valor de
usando os métodos de Erro e Polinômio de Taylor, com precisão de 2 casas decimais. Para isso, vamos precisar entender o que é o polinômio de Taylor e como estimar o erro nessa aproximação.
Passo 2
Primeiro, o Polinômio de Taylor é uma forma de aproximar funções suaves usando uma soma polinomial. No nosso caso, queremos aproximar
em torno de
para calcular
. A série de Taylor para
é:
Passo 3
Para calcular
com 2 casas decimais de precisão, vamos somar os termos da série até que o próximo termo seja menor que 0,005 (já que 0,005 é metade do valor da segunda casa decimal, garantindo a precisão desejada).
Passo 4
Vamos calcular os termos um a um:
Passo 5
Vamos somar esses termos até que o próximo termo seja menor que 0,005:
O próximo termo,
, é menor que 0,005, então podemos parar por aqui.
Passo 6
Agora, vamos verificar o erro dessa aproximação. O erro do Polinômio de Taylor é dado pelo próximo termo não incluído na soma:
Como 0,0014 é menor que 0,005, a nossa aproximação está dentro da precisão de 2 casas decimais.
Passo 7
Finalmente, vamos comparar com o valor padrão de
, que é aproximadamente 7,3891. Nossa aproximação foi 7,3862.
Para a comparação percentual:
Resposta
O valor aproximado de
é 7,39, com um erro de aproximadamente 0,04% em relação ao valor padrão.