(10 Pontos). Utilize os métodos de Erro e Polinômio de Taylor para calcular o valor numérico de e^2 com precisão de 2 casas decimais. E faça uma comparação percentual com o valor padrão.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular o valor de usando os métodos de Erro e Polinômio de Taylor, com precisão de 2 casas decimais. Para isso, vamos precisar entender o que é o polinômio de Taylor e como estimar o erro nessa aproximação.

Passo 2

Primeiro, o Polinômio de Taylor é uma forma de aproximar funções suaves usando uma soma polinomial. No nosso caso, queremos aproximar em torno de para calcular . A série de Taylor para é:

Passo 3

Para calcular com 2 casas decimais de precisão, vamos somar os termos da série até que o próximo termo seja menor que 0,005 (já que 0,005 é metade do valor da segunda casa decimal, garantindo a precisão desejada).

Passo 4

Vamos calcular os termos um a um:

Passo 5

Vamos somar esses termos até que o próximo termo seja menor que 0,005:
O próximo termo, , é menor que 0,005, então podemos parar por aqui.

Passo 6

Agora, vamos verificar o erro dessa aproximação. O erro do Polinômio de Taylor é dado pelo próximo termo não incluído na soma:
Como 0,0014 é menor que 0,005, a nossa aproximação está dentro da precisão de 2 casas decimais.

Passo 7

Finalmente, vamos comparar com o valor padrão de , que é aproximadamente 7,3891. Nossa aproximação foi 7,3862.
Para a comparação percentual:

Resposta

O valor aproximado de é 7,39, com um erro de aproximadamente 0,04% em relação ao valor padrão.

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