Utilizando a Série de Taylor mostre que as funções y = sen x e y = cos(x) são impar e par respectivamente. Considere x0 = 0. (Dica: faça a expansão até ordem 6 e depois analise o padrão das potencias dos termos presentes).

Passo 1

Vamos entender o que o exercício pede. Temos que usar a Série de Taylor para mostrar que a função é ímpar e é par. Isso significa que precisamos expandir essas funções em séries de potências até a ordem 6 e observar o padrão das potências dos termos. Para isso, vamos precisar conhecer a Série de Taylor e saber como identificar funções pares e ímpares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função par e uma função ímpar. Uma função é par se e ímpar se . Agora, vamos usar a Série de Taylor para expandir e em torno de .

Passo 3

A Série de Taylor de uma função em torno de (também chamada de Série de Maclaurin) é dada por:
Vamos aplicar isso para e .

Passo 4

Primeiro, vamos expandir até a ordem 6. Calculamos as derivadas de e avaliamos em :
Então, a Série de Taylor de até a ordem 6 é:
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos expandir até a ordem 6. Calculamos as derivadas de e avaliamos em :
Então, a Série de Taylor de até a ordem 6 é:
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos analisar o padrão das potências nos termos das séries.
Para :
Observamos que todas as potências de são ímpares (1, 3, 5). Não há termos com potências pares. Isso confirma que é uma função ímpar.
Para :
Aqui, todas as potências de são pares (0, 2, 4, 6). Não há termos com potências ímpares. Isso confirma que é uma função par.

Resposta

Usando a Série de Taylor, mostramos que é ímpar e é par, confirmando suas naturezas através dos padrões das potências em suas expansões.

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