Utilizando a Série de Taylor mostre que as funções
e
são impar e par respectivamente. Considere
. (Dica: faça a expansão até ordem 6 e depois analise o padrão das potencias dos termos presentes).
Passo 1
Vamos entender o que o exercício pede. Temos que usar a Série de Taylor para mostrar que a função
é ímpar e
é par. Isso significa que precisamos expandir essas funções em séries de potências até a ordem 6 e observar o padrão das potências dos termos. Para isso, vamos precisar conhecer a Série de Taylor e saber como identificar funções pares e ímpares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função par e uma função ímpar. Uma função
é par se
e ímpar se
. Agora, vamos usar a Série de Taylor para expandir
e
em torno de
.
Passo 3
A Série de Taylor de uma função
em torno de
(também chamada de Série de Maclaurin) é dada por:
Vamos aplicar isso para
e
.
Passo 4
Primeiro, vamos expandir
até a ordem 6. Calculamos as derivadas de
e avaliamos em
:
Então, a Série de Taylor de
até a ordem 6 é:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos expandir
até a ordem 6. Calculamos as derivadas de
e avaliamos em
:
Então, a Série de Taylor de
até a ordem 6 é:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos analisar o padrão das potências nos termos das séries.
Para
:
Observamos que todas as potências de
são ímpares (1, 3, 5). Não há termos com potências pares. Isso confirma que
é uma função ímpar.
Para
:
Aqui, todas as potências de
são pares (0, 2, 4, 6). Não há termos com potências ímpares. Isso confirma que
é uma função par.
Resposta
Usando a Série de Taylor, mostramos que
é ímpar e
é par, confirmando suas naturezas através dos padrões das potências em suas expansões.