(4 Pontos). Prove que a energia mecânica E numa aproximação de ordem um é nula.

Passo 1

Beleza, temos que provar que a energia mecânica numa aproximação de primeira ordem é nula. Isso está dentro da física, mais especificamente na área de mecânica clássica. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa energia mecânica e como ela se comporta quando fazemos uma aproximação de primeira ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a energia mecânica total de um sistema é a soma da energia cinética e da energia potencial :
Numa aproximação de primeira ordem, estamos considerando apenas os termos lineares na expansão das funções envolvidas, ignorando termos de ordem superior (como quadrados ou cúbicos).

Passo 3

Vamos assumir que o sistema está em equilíbrio e fazemos pequenas perturbações ao redor desse ponto de equilíbrio. Ao expandir e em séries de Taylor e considerar apenas os termos de primeira ordem, temos que:
Onde e são as energias no ponto de equilíbrio, e e são as variações de primeira ordem devido à pequena perturbação.

Passo 4

No equilíbrio, a energia mecânica total é:
Como o sistema está em equilíbrio, a energia cinética no ponto de equilíbrio é zero (não há movimento), então:

Passo 5

Agora, consideramos as variações de primeira ordem. Como estamos trabalhando com pequenas perturbações, a mudança na energia cinética e na energia potencial são proporcionais à amplitude da perturbação. Entretanto, essas variações são tais que:
Isso significa que as variações se cancelam mutuamente quando somadas.

Passo 6

Somando tudo, a energia mecânica total na aproximação de primeira ordem fica:
Mas como estamos considerando variações de primeira ordem que se cancelam, a energia mecânica adicional é zero.

Resposta

Portanto, na aproximação de primeira ordem, a energia mecânica é nula.

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