(4 Pontos). Prove que a energia mecânica
numa aproximação de ordem um é nula.
Passo 1
Beleza, temos que provar que a energia mecânica
numa aproximação de primeira ordem é nula. Isso está dentro da física, mais especificamente na área de mecânica clássica. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa energia mecânica e como ela se comporta quando fazemos uma aproximação de primeira ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a energia mecânica total
de um sistema é a soma da energia cinética
e da energia potencial
:
Numa aproximação de primeira ordem, estamos considerando apenas os termos lineares na expansão das funções envolvidas, ignorando termos de ordem superior (como quadrados ou cúbicos).
Passo 3
Vamos assumir que o sistema está em equilíbrio e fazemos pequenas perturbações ao redor desse ponto de equilíbrio. Ao expandir
e
em séries de Taylor e considerar apenas os termos de primeira ordem, temos que:
Onde
e
são as energias no ponto de equilíbrio, e
e
são as variações de primeira ordem devido à pequena perturbação.
Passo 4
No equilíbrio, a energia mecânica total
é:
Como o sistema está em equilíbrio, a energia cinética no ponto de equilíbrio
é zero (não há movimento), então:
Passo 5
Agora, consideramos as variações de primeira ordem. Como estamos trabalhando com pequenas perturbações, a mudança na energia cinética
e na energia potencial
são proporcionais à amplitude da perturbação. Entretanto, essas variações são tais que:
Isso significa que as variações se cancelam mutuamente quando somadas.
Passo 6
Somando tudo, a energia mecânica total
na aproximação de primeira ordem fica:
Mas como estamos considerando variações de primeira ordem que se cancelam, a energia mecânica adicional é zero.
Resposta
Portanto, na aproximação de primeira ordem, a energia mecânica
é nula.