Em um dado instante, uma borboleta possui o vetor posição DI=(2,00 m) i+(3,00 m) j+(2,00 m) k em relação à base de um pequeno chafariz. Então, 40,0 s mais tarde, a borboleta possui o vetor posição Df=(3,00 m) i+(1,00 m) j+(2,00 m) k. Encontre: O deslocamento em notação de vetores unitários e o módulo do deslocamento.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma borboleta que se move em um espaço tridimensional. Queremos descobrir qual foi o deslocamento dela, ou seja, como mudou a posição dela desde o início até 40 segundos depois. Para isso, vamos usar vetores posição e as fórmulas de deslocamento. Precisamos entender de vetores e de como calcular a diferença entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores posição inicial e final da borboleta. O vetor posição inicial é dado por:
DI = (2,00, m), i + (3,00, m), j + (2,00, m), k
E o vetor posição final é:
Df = (3,00, m), i + (1,00, m), j + (2,00, m), k

Passo 3

Para encontrar o deslocamento, precisamos subtrair o vetor posição inicial do vetor posição final. A fórmula para o deslocamento é:
D = Df - DI
Vamos fazer essa subtração componente por componente.

Passo 4

Vamos subtrair cada componente dos vetores:
  • Componente 3,00, m - 2,00, m = 1,00, m :
1,00, m - 3,00, m = -2,00, m
  • Componente 2,00, m - 2,00, m = 0,00, m :
  • Componente :

Passo 5

Agora, juntando tudo, o vetor deslocamento fica:
D = (1,00, m), i + (-2,00, m), j + (0,00, m), k
Ou de forma mais simples:
D = i - 2, j

Passo 6

Para encontrar o módulo do deslocamento, usamos a fórmula da magnitude de um vetor:
|D| = raiz(Dx)^2 + (Dy)^2 + (Dz)^2
Onde , e são as componentes do vetor deslocamento.

Passo 7

Substituindo os valores:
|D| = raiz(1,00)^2 + (-2,00)^2 + (0,00)^2 = raiz1 + 4 + 0 = raiz5
Calculando:
|D| approx 2,24, m

Resposta

O deslocamento da borboleta é dado por:
D = i - 2, j
E o módulo do deslocamento é aproximadamente .

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