Três dimensões. Três partículas pontuais são mantidas fixas em um sistema de coordenadas xyz. A partícula A, na origem, tem massa mA. A partícula B, nas coordenadas ( 2,00 d ; 1,00 d ; 2,00 d ), tem massa 2,00 mA e a partícula C, nas coordenadas ( -1,00 d ; 2,00 d ;-3,00 d ) tem massa 3,00 mA. Uma quarta partícula D, de massa 4,00 mA, pode ser colocada nas proximidades das outras partículas. Em termos da distância d, em que coordenada y a partícula D deve ser colocada para que a força gravitacional exercida pelas partículas B, C e D sobre a partícula A seja nula?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três partículas fixas no espaço tridimensional: a partícula A na origem com massa mA, a partícula B nas coordenadas (2,00d; 1,00d; 2,00d) com massa 2,00 mA, e a partícula C nas coordenadas (-1,00d; 2,00d; -3,00d) com massa 3,00 mA. Queremos encontrar a coordenada y onde colocar uma quarta partícula D, de massa 4,00 mA, de forma que a força gravitacional total exercida por B, C e D sobre A seja nula. Para resolver isso, vamos usar a Lei da Gravitação Universal de Newton, que nos permite calcular a força gravitacional entre duas massas.

Passo 2

Vamos relembrar a fórmula da força gravitacional:
F = G m1 m2r^2
onde:
  • F é a força gravitacional entre as duas massas,
  • G é a constante gravitacional,
  • m1 e m2 são as massas das partículas,
  • r é a distância entre os centros das duas massas.
Como queremos que a força resultante em A seja nula, a soma das forças exercidas por B, C e D sobre A deve ser igual a zero.

Passo 3

Vamos começar calculando as distâncias entre A e cada uma das partículas B, C e D. Como D será colocado em uma posição que varia somente na coordenada y, vamos assumir que suas coordenadas são (0, y, 0) para simplificar.
A distância entre dois pontos (x1, y1, z1) e (x2, y2, z2) no espaço é dada por:
r = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2

Passo 4

Calculando as distâncias:
  • Entre A e B:
rAB = raiz(2d - 0)^2 + (1d - 0)^2 + (2d - 0)^2 = raiz4d^2 + d^2 + 4d^2 = raiz9d^2 = 3d
  • Entre A e C:
rAC = raiz(-1d - 0)^2 + (2d - 0)^2 + (-3d - 0)^2 = raizd^2 + 4d^2 + 9d^2 = raiz14d^2 = raiz14d
  • Entre A e D (com D em (0, y, 0)):
rAD = raiz(0 - 0)^2 + (y - 0)^2 + (0 - 0)^2 = |y|

Passo 5

Agora, vamos calcular as forças gravitacionais exercidas por B, C e D sobre A:
  • Força exercida por B sobre A:
FAB = G mA cdot 2mA(3d)^2 = G 2mA^29d^2
  • Força exercida por C sobre A:
FAC = G mA cdot 3mA(raiz14d)^2 = G 3mA^214d^2
  • Força exercida por D sobre A:
FAD = G mA cdot 4mAy^2 = G 4mA^2y^2

Passo 6

Como as forças precisam se anular, a soma vetorial dessas forças deve ser zero. Considerando que as partículas B e C estão em posições fixas e D está sendo ajustada apenas na coordenada y, podemos considerar que as forças exercidas por B e C têm componentes que se cancelam parcialmente, mas para simplificar, assumiremos que D precisa compensar a força resultante das forças de B e C sobre A.
Portanto:
FAB + FAC = FAD
Substituindo as forças:
G 2mA^29d^2 + G 3mA^214d^2 = G 4mA^2y^2

Passo 7

Podemos simplificar a equação dividindo ambos os lados por G mA^2:
29d^2 + 314d^2 = 4y^2
Somando os termos do lado esquerdo:
2 cdot 14 + 3 cdot 99 cdot 14 d^2 = 4y^2
28 + 27126 d^2 = 4y^2
55126 d^2 = 4y^2

Passo 8

Resolvendo para y^2:
y^2 = 4 cdot 126 d^255
y^2 = 504 d^255
Então, tomando a raiz quadrada de ambos os lados:
y = raiz50455 d
Simplificando a fração:
y = raiz504raiz55 d = 6raiz14raiz55 d

Passo 9

Podemos racionalizar o denominador multiplicando numerador e denominador por raiz55:
y = 6raiz14 cdot raiz5555 d = 6raiz77055 d
y = 6raiz77055 d approx 6 cdot 27.7555 d approx 166.555 d approx 3.027 d

Resposta

A partícula D deve ser colocada na coordenada y approx 3,03,d para que a força gravitacional total sobre a partícula A seja nula.

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