(10 pts.) b) Calcule [T1]B,[T2]B, C e [T2 circ T1]B, C, em que B e C são as bases canônicas de R^2 e R^3, respectivamente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcularmos as matrizes das transformações lineares e em relação às bases canônicas de e de , respectivamente. Além disso, também precisamos encontrar a matriz da composição nessas mesmas bases. Para resolver isso, vamos precisar saber como e atuam nos vetores dessas bases. Geralmente, isso envolve aplicar as transformações aos vetores das bases e organizar os resultados em colunas da matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são as bases canônicas. Para 1 0, a base canônica 0 1 é formada pelos vetores 1 0 0 e 0 1 0. Para 0 0 1, a base canônica é formada pelos vetores , e .

Passo 3

Agora, para encontrar a matriz T1(e1) = resu, precisamos aplicar a transformação T1(e2) = resu a cada vetor da base de e expressar o resultado como combinação linear dos vetores de . Supondo que seja uma transformação linear de para , aplicamos:
Esses resultados formarão as colunas da matriz .

Passo 4

De maneira semelhante, para encontrar a matriz T2(e1) = resu, aplicamos a transformação T2(e2) = resu a cada vetor da base de e expressamos os resultados como combinações lineares dos vetores da base de . Assim:
Esses vetores serão as colunas da matriz .

Passo 5

Por fim, para encontrar a matriz da composição [T2 circ T1]B,C = [T2]B,C cdot [T1]B , primeiro aplicamos aos vetores de , depois aplicamos aos resultados de . A matriz resultante será o produto das matrizes e :

Resposta

Para obter as matrizes , e , siga os passos acima aplicando as transformações definidas em e aos vetores das bases canônicas.

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