(10 pts.) b) Calcule e , em que e são as bases canônicas de e , respectivamente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcularmos as matrizes das transformações lineares e em relação às bases canônicas de e de , respectivamente. Além disso, também precisamos encontrar a matriz da composição nessas mesmas bases. Para resolver isso, vamos precisar saber como e atuam nos vetores dessas bases. Geralmente, isso envolve aplicar as transformações aos vetores das bases e organizar os resultados em colunas da matriz.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são as bases canônicas. Para , a base canônica é formada pelos vetores e . Para , a base canônica é formada pelos vetores , e .
Passo 3
Agora, para encontrar a matriz , precisamos aplicar a transformação a cada vetor da base de e expressar o resultado como combinação linear dos vetores de . Supondo que seja uma transformação linear de para , aplicamos:
Esses resultados formarão as colunas da matriz .
Passo 4
De maneira semelhante, para encontrar a matriz , aplicamos a transformação a cada vetor da base de e expressamos os resultados como combinações lineares dos vetores da base de . Assim:
Esses vetores serão as colunas da matriz .
Passo 5
Por fim, para encontrar a matriz da composição , primeiro aplicamos aos vetores de , depois aplicamos aos resultados de . A matriz resultante será o produto das matrizes e :
Resposta
Para obter as matrizes , e , siga os passos acima aplicando as transformações definidas em e aos vetores das bases canônicas.