Determine a equação do plano que contém os pontos:
e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar a equação de um plano que passa pelos pontos , e . A matéria que vamos usar aqui é a geometria analítica, especificamente como determinar a equação de um plano no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar encontrar dois vetores que estão no plano e depois usar o produto vetorial deles para achar o vetor normal ao plano.

Passo 2

Primeiro, vamos achar dois vetores que estão no plano usando os pontos dados. Podemos fazer isso criando vetores a partir de A para B e de A para C.

Passo 3

Agora que temos os vetores e , vamos encontrar o vetor normal ao plano ( ) usando o produto vetorial desses dois vetores. O vetor normal é perpendicular a ambos os vetores no plano.
Calculando o produto vetorial:

Passo 4

Simplificando o vetor normal para facilitar a equação, podemos multiplicar cada componente por 3 para eliminar as frações:

Passo 5

Agora que temos o vetor normal , podemos usar a fórmula da equação do plano:
Onde são as componentes do vetor normal e é um ponto no plano. Vamos usar o ponto :

Resposta

A equação do plano é:

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( 0,6 pontos) Determine a área da superficie total do paralelepipedo cujas arestas têm por base os vetores e .
(1,0 ponto) Encontre para os quais os vetores e sejam colineares.
Determine a equação do plano que contém os pontos:
e .
(10 pts.) b) Calcule e , em que e são as bases canônicas de e , respectivamente.