Determine a equação do plano Omega que contém os pontos:
A=(0,0, 13), B=(1,-1, 13) e C=(2,1,0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar a equação de um plano que passa pelos pontos , e . A matéria que vamos usar aqui é a geometria analítica, especificamente como determinar a equação de um plano no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar encontrar dois vetores que estão no plano e depois usar o produto vetorial deles para achar o vetor normal ao plano.

Passo 2

Primeiro, vamos achar dois vetores que estão no plano usando os pontos dados. Podemos fazer isso criando vetores a partir de A para B e de A para C.
AB = B - A = (1 - 0, -1 - 0, 13 - 13) = (1, -1, 0)
AC = C - A = (2 - 0, 1 - 0, 0 - 13) = (2, 1, -13)

Passo 3

Agora que temos os vetores n = AB times AC e n = i & j & k 1 & -1 & 0 2 & 1 & -13 = i ((-1) cdot (-13) - 0 cdot 1) - j (1 cdot (-13) - 0 cdot 2) + k (1 cdot 1 - (-1) cdot 2) , vamos encontrar o vetor normal ao plano ( n = i (13) - j (-13) + k (1 + 2) ) usando o produto vetorial desses dois vetores. O vetor normal é perpendicular a ambos os vetores no plano.
n = (13, 13, 3)
Calculando o produto vetorial:

Passo 4

Simplificando o vetor normal para facilitar a equação, podemos multiplicar cada componente por 3 para eliminar as frações:
n = (1, 1, 9)

Passo 5

Agora que temos o vetor normal a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0 , podemos usar a fórmula da equação do plano:
1(x - 0) + 1(y - 0) + 9(z - 13) = 0
Onde x + y + 9z - 3 = 0 são as componentes do vetor normal e é um ponto no plano. Vamos usar o ponto :

Resposta

A equação do plano x + y + 9z = 3 é:

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