Determine a equação do plano Omega que contém os pontos:
A=(-1,0, 78), B=(2,-1,-34) e C=(0,15,3).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação do plano que passa pelos pontos , e . Isso envolve um pouco de geometria analítica, especificamente trabalhando com vetores e planos no espaço tridimensional. Para isso, vamos precisar entender como determinar um vetor normal ao plano e usar um dos pontos para montar a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a equação de um plano pode ser escrita na forma:
ax + by + cz + d = 0
onde é o vetor normal ao plano. Para encontrar esse vetor normal, precisamos de dois vetores que estejam dentro do plano. Podemos obter esses vetores subtraindo as coordenadas dos pontos dados.

Passo 3

Vamos calcular os vetores AB = B - A = (2 - (-1), -1 - 0, -34 - 78) = (3, -1, -138) e AC = C - A = (0 - (-1), 15 - 0, 3 - 78) = (1, 15, 178) :

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o vetor normal ao plano, que é o produto vetorial entre u times v = ( u2v3 - u3v2, u3v1 - u1v3, u1v2 - u2v1 ) e AB times AC = ( (-1)cdot178 - (-138)cdot15, (-138)cdot1 - 3cdot178, 3cdot15 - (-1)cdot1 ) . O produto vetorial de dois vetores = ( -178 + 1958, -138 - 518, 45 + 1 ) e = ( 1788, -648, 46 ) = ( 894, -8, 46 ) é dado por:
Aplicando isso aos nossos vetores:

Passo 5

Agora que temos o vetor normal a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0 , podemos usar a forma geral da equação do plano usando um dos pontos, por exemplo, o ponto 894(x - (-1)) -8(y - 0) +46(z - 78) = 0 . A equação do plano é dada por:
894(x + 1) -8y +46z - 3228 = 0
Substituindo os valores:
894x + 894 -8y +46z - 1614 = 0
89x + 89 -32y +184z -161 = 0
89x -32y +184z -72 = 0
Multiplicando todos os termos por 4 para eliminar as frações:
Simplificando:

Resposta

A equação do plano 89x - 32y + 184z - 72 = 0 é:

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