Determine as equações paramétricas e simétrica da reta r, que passa pelo ponto P0, e é paralela ao vetor v dado:
P0=(-3,1,1) e v=(-1,-1,2);

Passo 1

Beleza, então a gente tem que encontrar as equações paramétricas e simétricas de uma reta chamada r. Essa reta passa pelo ponto P0=(-3,1,1) e é paralela ao vetor v=(-1,-1,2). Vamos usar o conteúdo de geometria analítica, especificamente sobre equações de retas no espaço tridimensional, para resolver isso. Precisamos das coordenadas do ponto e das direções do vetor para montar as equações.

Passo 2

Primeiro, vamos montar as equações paramétricas da reta. As equações paramétricas descrevem cada coordenada ( x, y, z) em função de um parâmetro, geralmente chamado de t.
A fórmula geral das equações paramétricas de uma reta que passa por um ponto P0(x0, y0, z0) e tem um vetor diretor v=(a, b, c) é:
x = x0 + a t y = y0 + b t z = z0 + c t
Vamos substituir os valores dados:
x = -3 + (-1)t y = 1 + (-1)t z = 1 + 2t
Simplificando:
x = -3 - t y = 1 - t z = 1 + 2t

Passo 3

Agora, vamos encontrar as equações simétricas da reta. As equações simétricas relacionam as coordenadas x, y, z diretamente, eliminando o parâmetro t.
A fórmula geral para as equações simétricas de uma reta é:
x - x0a = y - y0b = z - z0c
Substituindo os valores que temos:
x - (-3)-1 = y - 1-1 = z - 12
Simplificando:
x + 3-1 = y - 1-1 = z - 12

Resposta

As equações paramétricas da reta r são:
x = -3 - t y = 1 - t z = 1 + 2t
E as equações simétricas da reta r são:
x + 3-1 = y - 1-1 = z - 12

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