( ) (10 pts) a sequência
definida por
é monótona decrescente e convergente.
Passo 1
Beleza, a gente tem uma sequência definida por
. Nosso objetivo aqui é mostrar que essa sequência está sempre diminuindo (é monótona decrescente) e que ela tem um valor para o qual se aproxima conforme
aumenta (é convergente). Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre sequências, especialmente como verificar se elas estão diminuindo e como encontrar seus limites.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na fórmula de
. O denominador é uma multiplicação de números pares até
, ou seja,
. Sabemos que isso pode ser reescrito de uma forma mais simples usando fatoriais.
Passo 3
Observando o denominador
, percebemos que podemos fatorar o 2 de cada termo:
Então, a expressão para
fica:
Passo 4
Agora que simplificamos, temos
. Sabemos que o fatorial
cresce muito rápido conforme
aumenta, o que já dá uma pista de que
pode estar diminuindo e tendendo a zero.
Passo 5
Vamos verificar se a sequência é realmente decrescente. Para isso, comparamos o termo
com
:
Como
é sempre menor que 1 para
, temos que
.
Passo 6
Esse resultado mostra que cada termo da sequência é menor que o anterior. Portanto, a sequência
é monótona decrescente.
Passo 7
Agora, vamos analisar a convergência da sequência. Sabemos que:
Então,
Isso significa que, conforme
cresce,
se aproxima de zero.
Resposta
A sequência é monótona decrescente e converge para zero.
Exercícios relacionados
( ) (10 pts)
.
Se as duas superfícies dadas interceptam-se numa curva, ache as equações da reta tangente à curva de intersecção no ponto dado.
c)
c)
Decida se cada uma das sequências abaixo é convergente ou divergente, calculando o limite no caso convergente.
Verifique a convergência ou divergência das seguintes sequências: