( ) (10 pts) a sequência definida por é monótona decrescente e convergente.

Passo 1

Beleza, a gente tem uma sequência definida por . Nosso objetivo aqui é mostrar que essa sequência está sempre diminuindo (é monótona decrescente) e que ela tem um valor para o qual se aproxima conforme aumenta (é convergente). Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre sequências, especialmente como verificar se elas estão diminuindo e como encontrar seus limites.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na fórmula de . O denominador é uma multiplicação de números pares até , ou seja, . Sabemos que isso pode ser reescrito de uma forma mais simples usando fatoriais.

Passo 3

Observando o denominador , percebemos que podemos fatorar o 2 de cada termo:
Então, a expressão para fica:

Passo 4

Agora que simplificamos, temos . Sabemos que o fatorial cresce muito rápido conforme aumenta, o que já dá uma pista de que pode estar diminuindo e tendendo a zero.

Passo 5

Vamos verificar se a sequência é realmente decrescente. Para isso, comparamos o termo com :
Como é sempre menor que 1 para , temos que .

Passo 6

Esse resultado mostra que cada termo da sequência é menor que o anterior. Portanto, a sequência é monótona decrescente.

Passo 7

Agora, vamos analisar a convergência da sequência. Sabemos que:
Então,
Isso significa que, conforme cresce, se aproxima de zero.

Resposta

A sequência é monótona decrescente e converge para zero.

Exercícios relacionados

( ) (10 pts) .
Se as duas superfícies dadas interceptam-se numa curva, ache as equações da reta tangente à curva de intersecção no ponto dado.
c)
Decida se cada uma das sequências abaixo é convergente ou divergente, calculando o limite no caso convergente.
Verifique a convergência ou divergência das seguintes sequências: