Decida se cada uma das sequências abaixo é convergente ou divergente, calculando o limite no caso convergente. a_n =
(1 - 1/2^2)(1 - 1/3^2)...(1 - 1/n^2)

Passo 1

Vamos analisar a sequência . O objetivo é determinar se essa sequência converge ou diverge e, se convergir, encontrar seu limite. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de progressões e produtos infinitos.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar cada termo da sequência. Observe que:

Passo 3

Agora, substituímos cada termo na sequência:

Passo 4

Vamos separar os produtos:
E:

Passo 5

Multiplicando os dois resultados:

Passo 6

Agora, vamos calcular o limite da sequência quando tende ao infinito:

Resposta

A sequência é convergente e seu limite é .

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