( ) (10 pts) sumn=1^+infty (-3)^n+12^n=25.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente analisar a soma infinita e verificar se ela é igual a . Para resolver isso, vamos usar conceitos de séries geométricas, que são séries onde cada termo é um múltiplo fixo do termo anterior.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão geral da série. Observe que:
(-3)^n+12^n = (-3) cdot (-32)^n
Então, nossa série fica:
sumn=1^+infty (-3)^n+12^n = -3 sumn=1^+infty (-32)^n

Passo 3

Agora, reconhecemos que temos uma série geométrica da forma , onde e . Em séries geométricas, a razão determina se a série converge (tem soma finita) ou diverge.

Passo 4

A soma de uma série geométrica infinita é dada pela fórmula:
S = a1 - r
Mas essa fórmula só funciona se | -32 | = 32 = 1,5 . Vamos verificar nosso :
Como , a condição não é satisfeita. Isso significa que a série não converge, ou seja, ela não tem uma soma finita.

Resposta

A afirmação está incorreta, pois a série não converge.

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