Se as duas superfícies dadas interceptam-se numa curva, ache as equações da reta tangente à curva de intersecção no ponto dado.
c)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos as equações da reta tangente à curva de intersecção de duas superfícies no ponto dado, que é . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente gradientes e vetores tangentes.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o ponto realmente está na intersecção das duas superfícies dadas. Para isso, substituímos , e nas equações das superfícies:
Para a primeira superfície:
Substituindo:
Sabemos que , então:
Está certo!
Para a segunda superfície:
Substituindo:
Sabemos que , então:
Também está certo! Então o ponto pertence à intersecção das duas superfícies.
Passo 3
Agora, para encontrar a reta tangente à curva de intersecção no ponto , precisamos encontrar a direção dessa reta. A direção da reta tangente é perpendicular aos gradientes das duas superfícies no ponto dado.
Primeiro, vamos encontrar as funções implícitas das superfícies:
Vamos calcular os gradientes dessas funções no ponto .
Passo 4
O gradiente de uma função é dado por:
Calculando para :
Então, no ponto :
Sabendo que :
Agora, para :
No ponto :
Sabendo que :
Passo 5
A direção da reta tangente à curva de intersecção é perpendicular aos gradientes das duas superfícies. Isso significa que podemos encontrar essa direção calculando o produto vetorial dos gradientes e .
Calculando:
Então, o vetor direção é .
Passo 6
Com o ponto 3,1,2 e o vetor direção , podemos escrever as equações paramétricas da reta tangente: