Se as duas superfícies dadas interceptam-se numa curva, ache as equações da reta tangente à curva de intersecção no ponto dado.
c) x = 2 + cos(pi y z), y = 1 + sen(pi x z) ; (3, 1, 2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos as equações da reta tangente à curva de intersecção de duas superfícies no ponto dado, que é 3,1,2. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente gradientes e vetores tangentes.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o ponto 3,1,2 realmente está na intersecção das duas superfícies dadas. Para isso, substituímos x = 3, y = 1 e z = 2 nas equações das superfícies:
Para a primeira superfície:
Substituindo:
Sabemos que , então:
Está certo!
Para a segunda superfície:
Substituindo:
Sabemos que , então:
Também está certo! Então o ponto pertence à intersecção das duas superfícies.

Passo 3

Agora, para encontrar a reta tangente à curva de intersecção no ponto 3,1,2, precisamos encontrar a direção dessa reta. A direção da reta tangente é perpendicular aos gradientes das duas superfícies no ponto dado.
Primeiro, vamos encontrar as funções implícitas das superfícies:
Vamos calcular os gradientes dessas funções no ponto 3,1,2.

Passo 4

O gradiente de uma função é dado por:
Calculando para :
Então, no ponto 3,1,2:
Sabendo que :
Agora, para :
No ponto 3,1,2:
Sabendo que :

Passo 5

A direção da reta tangente à curva de intersecção é perpendicular aos gradientes das duas superfícies. Isso significa que podemos encontrar essa direção calculando o produto vetorial dos gradientes nabla f e nabla g.
Calculando:
Então, o vetor direção é .

Passo 6

Com o ponto 3,1,2 e o vetor direção , podemos escrever as equações paramétricas da reta tangente:
Simplificando:

Resposta

As equações paramétricas da reta tangente são:

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