Ache uma equação do plano tangente e as equações da reta normal à superfície no ponto indicado.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação do plano tangente e as equações da reta normal à superfície definida por no ponto .
Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais para determinar o plano tangente e a reta normal. Vamos passo a passo para entender tudo direitinho!
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que o plano tangente a uma superfície em um ponto é aquele que “encosta” na superfície nesse ponto sem cortá-la, sendo definido pela equação:
Aqui, e são as derivadas parciais da função em relação a e , respectivamente, e é o ponto dado.
Vamos encontrar as derivadas parciais da nossa função .
Passo 3
Calculando as derivadas parciais:
Derivada parcial em relação a :
Derivada parcial em relação a :
Derivada parcial em relação a :
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto :
Para em :
Para em :
Para em :
Passo 4
Agora que temos as derivadas parciais no ponto, podemos escrever a equação do plano tangente usando a fórmula mencionada:
Substituindo os valores:
Agora, para encontrar as equações da reta normal, usamos a direção do vetor gradiente , que no nosso caso é .
A reta normal passa pelo ponto e tem como direção o vetor gradiente. Então, suas equações paramétricas são:
Onde são as componentes do vetor gradiente e é o parâmetro.