Ache uma equação do plano tangente e as equações da reta normal à superfície no ponto indicado.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação do plano tangente e as equações da reta normal à superfície definida por
no ponto
.
Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais para determinar o plano tangente e a reta normal. Vamos passo a passo para entender tudo direitinho!
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que o plano tangente a uma superfície em um ponto é aquele que “encosta” na superfície nesse ponto sem cortá-la, sendo definido pela equação:
Aqui,
e
são as derivadas parciais da função em relação a
e
, respectivamente, e
é o ponto dado.
Vamos encontrar as derivadas parciais da nossa função
.
Passo 3
Calculando as derivadas parciais:
-
Derivada parcial em relação a
: -
Derivada parcial em relação a
: -
Derivada parcial em relação a
:
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto
:
-
Para
em : -
Para
em : -
Para
em :
Passo 4
Agora que temos as derivadas parciais no ponto, podemos escrever a equação do plano tangente usando a fórmula mencionada:
Substituindo os valores:
Agora, para encontrar as equações da reta normal, usamos a direção do vetor gradiente
, que no nosso caso é
.
A reta normal passa pelo ponto
e tem como direção o vetor gradiente. Então, suas equações paramétricas são:
Onde
são as componentes do vetor gradiente e
é o parâmetro.
Substituindo:
Resposta
Equação do plano tangente:
Equações paramétricas da reta normal: