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Sejam
. Mostre que
é semelhante a
se, e somente se, existir um
tal que
.
Sejam
Passo 1
Vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos duas matrizes diagonais,
e
, onde
e
. A questão quer que a gente mostre que
é semelhante a
se, e somente se, existe uma permutação
no conjunto de todas as permutações possíveis de
elementos,
, de tal forma que cada
seja igual a algum
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa duas matrizes serem semelhantes e como isso se relaciona com as permutações dos elementos diagonais.
Passo 2
Primeiro, vamos recordar o que significa que duas matrizes são semelhantes. Dizemos que duas matrizes
e
são semelhantes se existe uma matriz inversível
tal que
. Isso basicamente significa que as duas matrizes representam a mesma transformação linear, mas em bases diferentes.
Passo 3
No caso de matrizes diagonais, a similaridade se relaciona diretamente com os valores diagonais. Como
e
são diagonais, para que sejam semelhantes, elas devem ter os mesmos valores na diagonal, possivelmente em ordem diferente. Isso porque a similaridade não altera os valores próprios, apenas possivelmente a ordem deles.
Passo 4
Agora, vamos conectar isso com as permutações das entradas diagonais. Uma permutação
rearranja os índices de forma que cada
seja igual a algum
. Isso quer dizer que os elementos diagonais de
são uma reordenação dos elementos diagonais de
.
Passo 5
Vamos provar a implicação direta: suponha que
seja semelhante a
. Então, existe uma matriz inversível
tal que
. Como ambas são diagonais,
deve ser uma matriz de permutação que rearranja os elementos diagonais de
para formar
. Portanto, existe uma permutação
tal que
para todo
.
Passo 6
Agora, a outra direção: suponha que existe uma permutação
tal que
. Podemos construir uma matriz de permutação
correspondente a
, que rearranja as posições diagonais de
para obter
. Assim, temos
, o que mostra que
é semelhante a
.
Resposta
Portanto, mostramos que
é semelhante a
se, e somente se, existe uma permutação
tal que
para todo
.
Exercícios relacionados
O conjunto de todos os polinômios de grau
com coeficientes reais é um espaço vetorial sobre
.
Determine, se existirem, os autovalores e autovetores de
em cada caso. Nos casos afirmativos determine o autoespaço generalizado.
(h) , para todo
.
(h)
Determine o polinômio característico e os autovalores, caso existam, das seguintes matrizes de transformação linear
O conjunto
das matrizes
com entradas reais é um espaço vetorial sobre
.