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Sejam . Mostre que é semelhante a se, e somente se, existir um tal que .

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos duas matrizes diagonais, e , onde e . A questão quer que a gente mostre que é semelhante a se, e somente se, existe uma permutação no conjunto de todas as permutações possíveis de elementos, , de tal forma que cada seja igual a algum . Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa duas matrizes serem semelhantes e como isso se relaciona com as permutações dos elementos diagonais.

Passo 2

Primeiro, vamos recordar o que significa que duas matrizes são semelhantes. Dizemos que duas matrizes e são semelhantes se existe uma matriz inversível tal que . Isso basicamente significa que as duas matrizes representam a mesma transformação linear, mas em bases diferentes.

Passo 3

No caso de matrizes diagonais, a similaridade se relaciona diretamente com os valores diagonais. Como e são diagonais, para que sejam semelhantes, elas devem ter os mesmos valores na diagonal, possivelmente em ordem diferente. Isso porque a similaridade não altera os valores próprios, apenas possivelmente a ordem deles.

Passo 4

Agora, vamos conectar isso com as permutações das entradas diagonais. Uma permutação rearranja os índices de forma que cada seja igual a algum . Isso quer dizer que os elementos diagonais de são uma reordenação dos elementos diagonais de .

Passo 5

Vamos provar a implicação direta: suponha que seja semelhante a . Então, existe uma matriz inversível tal que . Como ambas são diagonais, deve ser uma matriz de permutação que rearranja os elementos diagonais de para formar . Portanto, existe uma permutação tal que para todo .

Passo 6

Agora, a outra direção: suponha que existe uma permutação tal que . Podemos construir uma matriz de permutação correspondente a , que rearranja as posições diagonais de para obter . Assim, temos , o que mostra que é semelhante a .

Resposta

Portanto, mostramos que é semelhante a se, e somente se, existe uma permutação tal que para todo .

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