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Sejam D=diag(lambda1, ldots, lambdan), E=diag(mu1, ldots, mun) in F^n times n. Mostre que D é semelhante a E se, e somente se, existir um sigma in Sn tal que mui=lambdasigma(i).

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos duas matrizes diagonais, D e E, onde D = diag(lambda1, ldots, lambdan) e E = diag(mu1, ldots, mun). A questão quer que a gente mostre que D é semelhante a E se, e somente se, existe uma permutação sigma no conjunto de todas as permutações possíveis de n elementos, Sn, de tal forma que cada mui seja igual a algum lambdasigma(i). Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa duas matrizes serem semelhantes e como isso se relaciona com as permutações dos elementos diagonais.

Passo 2

Primeiro, vamos recordar o que significa que duas matrizes são semelhantes. Dizemos que duas matrizes A e B são semelhantes se existe uma matriz inversível P tal que B = P^-1 A P. Isso basicamente significa que as duas matrizes representam a mesma transformação linear, mas em bases diferentes.

Passo 3

No caso de matrizes diagonais, a similaridade se relaciona diretamente com os valores diagonais. Como D e E são diagonais, para que sejam semelhantes, elas devem ter os mesmos valores na diagonal, possivelmente em ordem diferente. Isso porque a similaridade não altera os valores próprios, apenas possivelmente a ordem deles.

Passo 4

Agora, vamos conectar isso com as permutações das entradas diagonais. Uma permutação sigma in Sn rearranja os índices de forma que cada mui seja igual a algum lambdasigma(i). Isso quer dizer que os elementos diagonais de E são uma reordenação dos elementos diagonais de D.

Passo 5

Vamos provar a implicação direta: suponha que D seja semelhante a E. Então, existe uma matriz inversível P tal que E = P^-1 D P. Como ambas são diagonais, P deve ser uma matriz de permutação que rearranja os elementos diagonais de D para formar E. Portanto, existe uma permutação sigma tal que mui = lambdasigma(i) para todo i.

Passo 6

Agora, a outra direção: suponha que existe uma permutação sigma in Sn tal que mui = lambdasigma(i). Podemos construir uma matriz de permutação P correspondente a sigma, que rearranja as posições diagonais de D para obter E. Assim, temos E = P^-1 D P, o que mostra que D é semelhante a E.

Resposta

Portanto, mostramos que D é semelhante a E se, e somente se, existe uma permutação sigma in Sn tal que mui = lambdasigma(i) para todo i.

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