O conjunto de todos os polinômios de grau
com coeficientes reais é um espaço vetorial sobre
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que “O conjunto de todos os polinômios de grau
com coeficientes reais é um espaço vetorial sobre
.” Isso está falando sobre espaços vetoriais, um conceito da álgebra linear. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um espaço vetorial e verificar se o conjunto de polinômios de grau
realmente satisfaz todas as propriedades necessárias para ser considerado um espaço vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial sobre um campo (nesse caso,
) é um conjunto de elementos chamados vetores, onde podemos fazer duas operações: adição de vetores e multiplicação de vetores por escalares (números reais, neste caso). Para que esse conjunto seja um espaço vetorial, ele precisa satisfazer oito axiomas, como associatividade, existência de elemento neutro, etc.
Passo 3
Agora, vamos considerar o conjunto de todos os polinômios de grau
com coeficientes reais. Vamos chamar esse conjunto de
. Queremos verificar se
satisfaz os axiomas de um espaço vetorial.
Passo 4
Axioma 1: Fechamento na adição
Se pegarmos dois polinômios
e
em
, a soma
também deve estar em
. Isso é verdade porque a soma de dois polinômios de grau
ainda resulta em um polinômio de grau no máximo
.
Axioma 2: Fechamento na multiplicação por escalar
Se pegarmos um polinômio
em
e um escalar
, o produto
também deve estar em
. Isso também é verdade, pois multiplicar um polinômio por um escalar não altera o grau.
Passo 5
Axioma 3: Associatividade da adição
Para quaisquer
,
e
em
, temos
. Isso é verdade porque a adição de polinômios é associativa.
Axioma 4: Comutatividade da adição
Para quaisquer
e
em
,
. Novamente, isso é válido porque a adição de polinômios é comutativa.
Passo 6
Axioma 5: Elemento neutro da adição
Existe um polinômio zero
em
tal que
para todo
em
. O polinômio zero, com todos os coeficientes iguais a zero, cumpre isso.
Axioma 6: Elemento inverso da adição
Para cada
em
, existe um polinômio
em
tal que
. Isso é verdade porque podemos simplesmente multiplicar cada coeficiente de
por
.
Passo 7
Axioma 7: Distributividade da multiplicação escalar em relação à adição de vetores
Para qualquer escalar
e quaisquer polinômios
e
em
, temos
. Isso funciona porque a multiplicação por escalar distribui sobre a adição de polinômios.
Axioma 8: Distributividade da multiplicação escalar em relação à adição de escalares
Para quaisquer escalares
e
, e qualquer polinômio
em
,
. Isso também é válido devido às propriedades da multiplicação escalar.
Resposta
Como todos os oito axiomas de um espaço vetorial são satisfeitos pelo conjunto de polinômios de grau
com coeficientes reais, concluímos que
é, de fato, um espaço vetorial sobre
.
Exercícios relacionados
Determine, se existirem, os autovalores e autovetores de
em cada caso. Nos casos afirmativos determine o autoespaço generalizado.
(h) , para todo
.
(h)
Determine, se existirem, os autovalores e autovetores de
em cada caso. Nos casos afirmativos determine o autoespaço generalizado.
© .
©
10
Sejam . Mostre que
é semelhante a
se, e somente se, existir um
tal que
.
Sejam
Determine o polinômio característico e os autovalores, caso existam, das seguintes matrizes de transformação linear