O conjunto de todos os polinômios de grau n com coeficientes reais é um espaço vetorial sobre R.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que “O conjunto de todos os polinômios de grau n com coeficientes reais é um espaço vetorial sobre R.” Isso está falando sobre espaços vetoriais, um conceito da álgebra linear. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um espaço vetorial e verificar se o conjunto de polinômios de grau n realmente satisfaz todas as propriedades necessárias para ser considerado um espaço vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial sobre um campo (nesse caso, R) é um conjunto de elementos chamados vetores, onde podemos fazer duas operações: adição de vetores e multiplicação de vetores por escalares (números reais, neste caso). Para que esse conjunto seja um espaço vetorial, ele precisa satisfazer oito axiomas, como associatividade, existência de elemento neutro, etc.

Passo 3

Agora, vamos considerar o conjunto de todos os polinômios de grau n com coeficientes reais. Vamos chamar esse conjunto de Pn. Queremos verificar se Pn satisfaz os axiomas de um espaço vetorial.

Passo 4

Axioma 1: Fechamento na adição
Se pegarmos dois polinômios p(x) e q(x) em Pn, a soma p(x) + q(x) também deve estar em Pn. Isso é verdade porque a soma de dois polinômios de grau n ainda resulta em um polinômio de grau no máximo n.
Axioma 2: Fechamento na multiplicação por escalar
Se pegarmos um polinômio p(x) em Pn e um escalar c in R, o produto c cdot p(x) também deve estar em Pn. Isso também é verdade, pois multiplicar um polinômio por um escalar não altera o grau.

Passo 5

Axioma 3: Associatividade da adição
Para quaisquer p(x), q(x) e r(x) em Pn, temos (p(x) + q(x)) + r(x) = p(x) + (q(x) + r(x)). Isso é verdade porque a adição de polinômios é associativa.
Axioma 4: Comutatividade da adição
Para quaisquer p(x) e q(x) em Pn, p(x) + q(x) = q(x) + p(x). Novamente, isso é válido porque a adição de polinômios é comutativa.

Passo 6

Axioma 5: Elemento neutro da adição
Existe um polinômio zero 0(x) em Pn tal que p(x) + 0(x) = p(x) para todo p(x) em Pn. O polinômio zero, com todos os coeficientes iguais a zero, cumpre isso.
Axioma 6: Elemento inverso da adição
Para cada p(x) em Pn, existe um polinômio -p(x) em Pn tal que p(x) + (-p(x)) = 0(x). Isso é verdade porque podemos simplesmente multiplicar cada coeficiente de p(x) por -1.

Passo 7

Axioma 7: Distributividade da multiplicação escalar em relação à adição de vetores
Para qualquer escalar c e quaisquer polinômios p(x) e q(x) em Pn, temos c cdot (p(x) + q(x)) = c cdot p(x) + c cdot q(x). Isso funciona porque a multiplicação por escalar distribui sobre a adição de polinômios.
Axioma 8: Distributividade da multiplicação escalar em relação à adição de escalares
Para quaisquer escalares c e d, e qualquer polinômio p(x) em Pn, (c + d) cdot p(x) = c cdot p(x) + d cdot p(x). Isso também é válido devido às propriedades da multiplicação escalar.

Resposta

Como todos os oito axiomas de um espaço vetorial são satisfeitos pelo conjunto de polinômios de grau n com coeficientes reais, concluímos que Pn é, de fato, um espaço vetorial sobre R.

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