O conjunto
das matrizes
com entradas reais é um espaço vetorial sobre
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente tem o conjunto
, que representa todas as matrizes de tamanho
com números reais nas entradas. A questão quer saber se esse conjunto forma um espaço vetorial sobre
. Para resolver isso, precisamos lembrar o que define um espaço vetorial e verificar se
atende a todas essas condições.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto de objetos (neste caso, matrizes) onde a gente pode fazer duas operações: adição e multiplicação por escalar (números reais). Para que
seja um espaço vetorial, essas operações precisam seguir certas regras, chamadas de axiomas. Vamos verificar cada um deles.
Passo 3
1. Fechamento pela adição: Se pegar duas matrizes
e
em
e somar elas, o resultado
também vai ser uma matriz
com entradas reais. Então, a adição está fechada.
2. Fechamento pela multiplicação por escalar: Se pegar uma matriz
em
e um número real
, a multiplicação
também vai ser uma matriz
com entradas reais. Então, a multiplicação por escalar está fechada.
Passo 4
3. Associatividade da adição: Se temos três matrizes
,
e
em
, a soma
é igual a
. Isso é uma propriedade básica da adição de matrizes.
4. Comutatividade da adição: Para quaisquer matrizes
e
em
,
. A ordem não altera o resultado da soma.
Passo 5
5. Elemento neutro da adição: Existe uma matriz zero
em
tal que
para qualquer matriz
. Essa matriz zero tem todas as entradas iguais a zero.
6. Elemento inverso da adição: Para cada matriz
em
, existe uma matriz
em
tal que
.
Passo 6
7. Associatividade da multiplicação por escalar: Para quaisquer números reais
e
, e qualquer matriz
em
,
.
8. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de matrizes: Para qualquer número real
e matrizes
e
em
,
.
9. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares: Para quaisquer números reais
e
, e qualquer matriz
em
,
.
10. Elemento neutro da multiplicação por escalar: Multiplicar qualquer matriz
por 1 não muda a matriz:
.
Resposta
Como todas as propriedades necessárias para um espaço vetorial são satisfeitas, concluímos que o conjunto
das matrizes
com entradas reais é, de fato, um espaço vetorial sobre
.
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Determine o polinômio característico e os autovalores, caso existam, das seguintes matrizes de transformação linear
10
Sejam . Mostre que
é semelhante a
se, e somente se, existir um
tal que
.
Sejam
15
Sejam , com
, e
, para alguma base
de
. Mostre que:
(a) Se é ímpar e
, então
possui pelo menos um autovalor positivo.
Sejam
(a) Se
Dentre os conjuntos seguintes, determine quais são subspaços de
: