O conjunto das matrizes com entradas reais é um espaço vetorial sobre .

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente tem o conjunto , que representa todas as matrizes de tamanho com números reais nas entradas. A questão quer saber se esse conjunto forma um espaço vetorial sobre . Para resolver isso, precisamos lembrar o que define um espaço vetorial e verificar se atende a todas essas condições.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto de objetos (neste caso, matrizes) onde a gente pode fazer duas operações: adição e multiplicação por escalar (números reais). Para que seja um espaço vetorial, essas operações precisam seguir certas regras, chamadas de axiomas. Vamos verificar cada um deles.

Passo 3

1. Fechamento pela adição: Se pegar duas matrizes e em e somar elas, o resultado também vai ser uma matriz com entradas reais. Então, a adição está fechada.
2. Fechamento pela multiplicação por escalar: Se pegar uma matriz em e um número real , a multiplicação também vai ser uma matriz com entradas reais. Então, a multiplicação por escalar está fechada.

Passo 4

3. Associatividade da adição: Se temos três matrizes , e em , a soma é igual a . Isso é uma propriedade básica da adição de matrizes.
4. Comutatividade da adição: Para quaisquer matrizes e em , . A ordem não altera o resultado da soma.

Passo 5

5. Elemento neutro da adição: Existe uma matriz zero em tal que para qualquer matriz . Essa matriz zero tem todas as entradas iguais a zero.
6. Elemento inverso da adição: Para cada matriz em , existe uma matriz em tal que .

Passo 6

7. Associatividade da multiplicação por escalar: Para quaisquer números reais e , e qualquer matriz em , .
8. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de matrizes: Para qualquer número real e matrizes e em , .
9. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares: Para quaisquer números reais e , e qualquer matriz em , .
10. Elemento neutro da multiplicação por escalar: Multiplicar qualquer matriz por 1 não muda a matriz: .

Resposta

Como todas as propriedades necessárias para um espaço vetorial são satisfeitas, concluímos que o conjunto das matrizes com entradas reais é, de fato, um espaço vetorial sobre .

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